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Mehrdimensionale Definitionsbereiche

Wir betrachten nun Funktionen der Form

Hier soll aus einer vieldimensionalen Menge von reellen Zahlen eine reine eindimensionale reelle Zahl erzeugt werden. Das kann z.B. bei einer zweidimensionalen Fläche der Flächeninhalt oder Flächenumfang sein.

Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden:

Das Symbol verweist auf eine mehrdimensionale Inputmenge, die zu einer eindimensionalen Outputmenge führt mit , für eine beliebige Dimension .

Vektorfelder tummeln sich bei den allgemeineren Funktionen des Typs

Dort gibt es beliebige Dimensionen . In dieser Klasse sind vor allem die zwei bzw. dreidimensionalen Vektorfelder von Bedeutung.

Zweidimensionales Vektorfeld

Dreidimensionales Vektorfeld

Im Fall ist also eine Teilmenge der Ebene, im Fall eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes. Die Funktionswerte sind immer reine Zahlen (Skalare).

Der Vektor ist ein Standardbeispiel für die Funktion

Sie weist dem Vektor seine euklidische Länge zu. Sie ist ja eindimensional.

Im Fall verwendet man oft die Variablen und im Fall die Variablen , so dass ihre Funktionswerte die Form bzw. annehmen.

Zwei Dimensionen können durch eine Höhenlandschaft visualisiert werden. Die Inputvariablen und werden als Koordinatenachsen genutzt und ihr Funktionswert als Höhe (Niveaumenge) über der --Ebene dargestellt. Bei einer einfachen Funktion kann man dies per Hand machen und einen Kontur-Plot der Funktion erstellen.

Beispiel

Visualisierung von als Höhenlinien.

Setze in (obere Skala) und (rechte Skala) ein. Das ergibt

Wo sich die Linien von und im Koordinatenkreuz schneiden, hast du einen Punkt der Höhenlinie gefunden. Die anderen Punkte der gleichen Höhenlinie ergeben sich aus einem Vielfachen des Quotienten hinter dem Arkustangens. Dadurch bleibt der Input konstant.

Probiere dies mit verschiedenen aus.

Das Ergebnis ist immer Arkustangens eins bzw. .

Beispiel

Visualisiere den Betrag der Funktion . Das ist eine Kreisgleichung.

Der Betrag entspricht dem Radius des Kreises.

Die Höhenlinien werden aus dem Betrag gebildet.

Berechnung für ausgewählte Werte:

Es entsteht ein Kreis mit dem Mittelpunkt . Für größere Inputwerte geht der Kreis wie ein Hefekuchen auseinander und wächst stetig nach oben.

Dieses Gebilde heißt Paraboloid. Es erinnert an eine dreidimensionale Parabel.

Neu an den mehrdimensionalen Definitionsbereichen ist, dass die Variable nicht wie gewohnt eine „Höhe“ im Koordinatensystem darstellt, sondern die Kombination aus und die eigentliche Höhe(nlinien) erzeugt.

Schaut man von oben auf das Paraboloid hat man einen Kontur-Plot vor sich. Beim Kreuzungspunkt von und ist der Mittelpunkt des Plots. Mit den Inputwerten und ergibt sich die äußere Konturlinie, deren Größe entspricht.

Stetigkeit mehrdimensionaler Inputbereiche

Auch bei mehrdimensionalen Inputbereichen gibt es eine Stetigkeit. Sie kann mit zwei Methoden festgestellt werden.

Umgebungsstetig

Bei umgebungsstetig prüft man, ob bei beliebig kleinen Umgebungen von allen Inputwerten der Funktionswert auch beliebig klein wird.

Inputumgebung:

Das bedeutet, befindet sich im offenen Intervall . Links und rechts befindet sich eine Umgebung von Zahlen.

Outputumgebung:

Das bedeutet, befindet sich im offenen Intervall .

Je kleiner die Differenz von wird, umso kleiner muss auch die Differenz werden. Es besteht also ein funktionaler Zusammenhang zwischen den beiden Differenzen.

Das Symbol als Name dieser Funktion soll daran erinnern, dass der Input mehrdimensional ist.

Die beiden Differenzen müssen schließlich verschwinden, je kleiner gemacht wird.

Folgenstetig

Bei folgenstetig prüft man, ob der Funktionswert eines willkürlich gewählten Inputs von einer konvergenten Folge von -Inputs erreicht wird. Der Buchstabe soll an die Mehrdimensionalität des Inputs erinnern.

A) Der Funktionswert ist gegeben.

B) Die Funktionswerte der Folge mit werden gebildet.

C) Die Funktionswerte der Folge konvergieren allmählich im Funktionswert bei höheren Laufindizes . Ihr Grenzwert ist also gleich dem Funktionswert von .

Falls diese Gleichung zutrifft, liegt eine Folgenstetigkeit vor.

Die beiden Stetigkeitsdefinitionen sind gleichwertig (äquivalent). Daher kann man wieder kurz von Stetigkeit sprechen.