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Multiplikation von Matrizen

Definition

Definition

Es seien und Matrizen vom Typ (m, p) und (p, n). Dann ist das Produkt definiert durch Zeilenanzahl der einen Matrix und Spaltenanzahl der anderen (beide = p) müssen übereinstimmen, sonst ist Multiplikation nicht möglich.

Beispiel

Raketenmethode: eine Spalte der rechten Matrix steigt wie eine Rakete hoch und klappt dann auf die Zeile der linken Matrix um, mit der die Spalte multipliziert werden soll. Anschließend werden die Elemente wie beim Skalarprodukt paarweise multipliziert und die Produkte addiert. Dies wird so lange wiederholt, bis alle möglichen Kombinationen aus einer Zeile der linken mit einer Spalte der rechten Matrix ausgerechnet wurden.

Matrixprodukt

Sei eine -Matrix und eine -Matrix. Die -Matrix

heißt Produktmatrix (Produkt aus A und B).

• An Position steht das Skalarprodukt des j-ten Zeilenvektors (der linken Matrix), mit dem l-ten Spaltenvektor (der 2ten Matrix)

• Skalarprodukt von 2 Vektoren ist Sonderfall des Matrixproduktes

• Produkt entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen

• Nur definiert, wenn Spaltenanzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix

A,B,C

seien Matrizen, so dass die folgenden Produkte definiert sind

• Assoziativgesetz

• Distributivgesetz

•

• im allgemeinen:

• (mit E = Einheitsmatrix)

• nilpotent heißt eine Matrix, wenn = Nullmatrix

• Die Menge aller -Matrizen mit den Rechengesetzen zusammen bildet einen Ring. Keinen Körper, da das inverse Element der Multiplikation im allgemeinen nicht existiert.

Das Ergebnis der jeweiligen Multiplikation steht in der gleichen Zeile wie bei der ersten Matrix. Beachtet also die Zeile der ersten Matrix. Dann wisst ihr schon mal, wo das Ergebnis hin muss. Jetzt verbleibt noch die Spaltenposition. Sie richtet sich nach der Spalte der zweiten Matrix.

Die Multiplikation der einzelnen Komponenten sieht optisch wie ein Winkeleisen aus.

Das Ergebnis steht in der oberen Zeile. Es kommt in die erste Spalte, weil die Komponenten aus dieser Spalte der zweiten Matrix stammen.

Das Ergebnis m steht in der oberen Zeile. Es kommt in die zweite Spalte, weil die Komponenten aus dieser Spalte der zweiten Matrix stammen.

Das Ergebnis m steht in der unteren Zeile. Es kommt in die erste Spalte, weil die Komponenten aus dieser Spalte der zweiten Matrix stammen.

Das Ergebnis m steht in der unteren Zeile. Es kommt in die zweite Spalte, weil die Komponenten aus dieser Spalte der zweiten Matrix stammen.

Nun führe ich mal vor, wie ihr am geschicktesten Matrizen miteinander multipliziert.

1. Schritt

Die Komponenten der ersten Zeile mit den Komponenten der ersten Spalte multiplizieren. Die Produkte addieren und die Summe in das erste Feld oben links schreiben.

So sieht die Multiplikation optisch aus:

Beispiel

Die beiden Matrizen multiplizieren, wobei nur die erste Zeile von und die erste Spalte von berücksichtigt werden. Der Rest kommt später dran.

2. Schritt

Die Komponenten der ersten Zeile mit den Komponenten der zweiten Spalte multiplizieren. Die Produkte addieren und die Summe in das zweite Feld oben rechts schreiben.

So sieht die Multiplikation optisch aus:

Beispiel

Die beiden Matrizen multiplizieren, wobei nur die erste Zeile von und die zweite Spalte von berücksichtigt werden. Der Rest kommt später dran.

3. Schritt und 4. Schritt sind analog gestaltet.

Allgemeine Darstellung der Multiplikation von Matrizen

Wenn ihr die Berechnung oben verstanden habt, könnt ihr sicherlich auch mir folgen, wenn ich das Ganze nur mit Buchstaben darstelle. Das ist ein Thema für Fortgeschrittene. Anfänger können das, ohne Schaden zu nehmen, überspringen.

Allgemein ausgedrückt werden die Komponenten der i-ten Zeile von Matrix A mit der k-ten Spalte der Matrix B multipliziert. Die einzelnen Produkte werden dann summiert und in den Kreuzungspunkt der i-Zeile und k-Spalte der dritten Matrix C geschrieben.

Matrizenprodukt

Die Zeile der ersten Matrix A hat den Namen i. Die Spalte der zweiten Matrix B hat den Namen k. Sie kreuzen sich in der dritten Matrix C. Das kleine j bedeutet, jedes Element wird mit der entsprechenden anderen Element j multipliziert. Dieser Buchstabe zeigt die Position der Elemente innerhalb der Zeile von Matrix A und innerhalb der Spalte von Matrix B.

Die Matrix A besteht aus den Elementen . Die Matrix B besteht aus den Elementen. Beachtet, dass der blaue Index i bei des Elements vorne steht und der Index k beim Element rechts steht.

Die einzelnen Elemente werden verknüpft über den Zwischenindex j. Innerhalb der Matrix A bewegt sich der Zwischenindex j waagerecht nach rechts. Bei der Matrix B fällt er wie ein Stein runter. Die Elemente mit dem gleichen j werden miteinander multipliziert.

Das bedeutet: Die Komponente c ist das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation. Die Indizes geben bestimmte Positionen in den Matrizen an.

Die beiden Indizes i (Zeile) und k (Spalte) geben an, wo sich der Kreuzungspunkt sich befindet. Das ist das blaue Kästchen in der dritten Matrix.

Der Index j gibt die Position der Elemente innerhalb der Zeile und innerhalb der Spalte an. Mit der Multiplikation der zusammengehörigen Elemente verschwindet der Zwischenindex j. Er zeigt die Zusammengehörigkeit von Elementen an. Nur Elemente, die zusammengehören, werden miteinander multipliziert.

Die Komponente c besteht aus der Summe der einzelnen Produkte von a und b. Sie muss nur an der richtigen Stelle in der Matrix C stehen. Das ist eure Aufgabe. Ihr müsst den richtigen Kreuzungspunkt in der Matrix C finden und dort die Summe hinschreiben. Das ist keine Hexerei, sondern nur reine Übungssache.

Das Summenzeichen bei den Elementen a und b darf ich nicht vergessen. Mit ihm lautet die vollständige Formel der Multiplikation von Matrizen so, was jetzt fürchterlich schwierig aussieht.

Der Wert des Positionsindex j wird mit Zahlen belegt, wobei die Endposition mit dem Buchstaben m bezeichnet wird. Der Buchstabe m steht für eine bestimmte Zahl. Er ist gleich der Anzahl der Elemente in einer Zeile bzw. einer Spalte.

Die Komponente c ist das Resultat der Multiplikation von Elementen aus zwei Matrizen und ihrer anschließenden Summierung. Ich habe c Komponente genannt, weil sie aus mehreren Elementen gebildet wird. Die Komposition eines Musikstücks ist damit vergleichbar. Sie besteht aus lauter Noten (Elementen), die dem Publikum gefallen sollen.

Der Index j gibt die Anzahl der Produkte von Elementen an, die für einen Kreuzungspunkt benötigt werden. Bei Matrizen von zwei Zeilen und zwei Spalten muss man je Komponente (in Matrix C) nur zwei Mal Produkte erzeugen und diese dann addieren. Bei mehr Zeilen und Spalten muss man entsprechend mehr Produkte bilden.

In der Praxis ist das ziemlich einfach. Man benötigt nur die Grundrechenarten, ein sicheres Auge und gute Konzentration beim Kopfrechnen.

Satz 5

Für die Matrizenmultiplikation und die Multiplikation mit einem Vektor gilt:

Achtung! Aus folgt nicht, .

Gegenbeispiel: