Newtonverfahren

 

[image]

 

[image]

 

Startwert x1

Tangente in [image]

Schnittpunkt von Tangente mit x Achse = x2 ermitteln

 

nun Tangente in [image]

usw.

 

Tangente in P

 

[image]

 

[image]

 

Schnittpunkt:

 

[image]

 

Formel:

 

[image]

 

Probleme: bei manchen Funktionen nähert man sich dem echten Wert nur langsam

 

 

[image]

 

[image]

 

Bemerkung: [image] sei in einer Umgebung [image] stetig differenzierbar und [image]

 

[image] Beispiel

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

 

[image]

 

Konvergenzgeschwindigkeit

 

Definition: Konvergenz = Näherung dem richtigen Wert

 

Entwickeln [image] in [image] nach Taylor

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

Taylor:

 

[image]

 

[image]

 

lokal quadratisch konvergent

 

Bedingung: [image]