• Startseite
• Inhalt
• Index

Paarmengenaxiom (PA)

Paarmenge

Ein geordnetes Paar (x, y) hat eine erste Komponente x und eine zweite Komponente y.

Symbolische Schreibweise:

.

Es gilt genau dann, wenn und .

Produktmenge (Kartesisches Produkt)

Die Produktmenge zweier Mengen und ist die Menge aller geordneter Paare mit und . Sie wird auch als kartesisches Produkt bezeichnet.

Beispiel

Produktmenge bilden mit Zahlen und Symbolen:

,

Geht schrittweise vor. Man kombiniert die Zahl 3 der Menge jeweils mit den Elementen der Menge . Dann kombiniert man die Zahl 4 jeweils mit den Elementen der Menge .

Koordinatenkreuz

Das kartesische Produkt zweier Mengen ist. Das Malzeichen ist nicht zufällig vorhanden. Graphisch entspricht die Produktmenge einem Rechteck.

Beispiel

Produktmenge bilden in einem Koordinatenkreuz.

,

Das schraffierte Rechteck entspricht der Produktmenge der beiden Mengen und .

Ist schreibt man

.

Dieses lässt sich Iterieren zu Produkten. Die Klammern sind nicht wichtig, wir lassen sie weg. Ist schreiben wir

.

Die Elemente dieser Menge heißen n-Tupel.

Kurzschreibweise:

Die einzelnen Mengen von 1 bis n werden multipliziert, d.h. zu Paaren zusammengefasst. Sie bilden n-Tupel (Paarmengen).

Paarmengenaxiom (Definition)

Sind Mengen, dann gibt es eine Menge deren Elemente genau und sind.

(entsprechend mit mehr als 2 Mengen)

Zu je zwei Mengen A und A existiert eine Menge Z, die genau A und B als Element hat.

Der gesamte Sachverhalt des Paarmengenaxioms lautet in seiner formalistischen Schönheit:

Eine Hundepaarmenge (Bild: www.openclipart.com)

Als Paarmenge oder Zweiermenge bezeichnet man die durch die geschweifte Klammer {A, B} symbolisierte Menge. Sie enthält nur zwei Elemente. In diesem Fall enthält sie zwei verschiedene Mengen A und B.

Das Axiom der Paarmenge {A, B} besagt, dass es eine andere Menge Z gibt, in der die beiden Mengen A und B als Elemente enthalten sind. Eine Menge braucht also nicht nur einzelne Elemente enthalten. Sie kann auch andere Mengen enthalten.

Es ist aber logisch nicht möglich, dass sie sich selber als Element enthält. Dann müsste ja das Element gleichzeitig seine eigene Menge sein, was unlogisch ist. Mister Russel hatte dies festgestellt. Nach ihm ist diese Unlogik benannt, nämlich die Russelsche Antinomie (Widerspruch).

Ich werde das Paarmengenaxiom Schritt für Schritt vorstellen. Dabei werde ich einige

Sachverhalte mehrfach wiederholen. So könnt ihr das Thema sicherlich besser verstehen.

Achtet auf die Quantoren. Das Paarmengenaxiom gilt für alle Mengen A und B. Deshalb steht hier der Allquantor . Sie haben mit mindestens einer anderen Menge Z Paarelemente gemeinsam. Deshalb steht dort der Existenzquantor . Die beiden Mengen A und B sind als Paarmenge in der Menge Z enthalten. Sie sind dort Elemente mit dem Namen z.

Das bedeutet: Das Element z ist der Menge A oder der Menge B gleich.

Zwischen den beiden Aussagen besteht eine Äquivalenzbeziehung. Der Operator  ist das Kürzel für die Äquivalenz.

A, B und z gehen spazieren (Bild: www.123gif.de)

Gedächtnisstütze: Der Gänserich mit der blauen Kappe ist A und die Gans mit der roten Haube ist B. Das Gössel wird durch z dargestellt. Wenn z einmal erwachsen ist, wird es gleich seinem Vater A oder seiner Mutter B sein.

Mit dem Paarbildungsaxiom erweitert sich der Vorrat an Mengen erheblich. War bisher aufgrund von (Null) nur die Existenz der leeren Menge gesichert, so kann jetzt eine ganze Reihe Einermengen bilden:

Anfangs gibt es nur die leere Menge. Dann wird die leere Menge in eine Menge „verpackt“. Dann wird wieder eine „Verpackung“ darum gemacht. Erinnern wir uns an das Axiom:

Zu je zwei Mengen A und B gibt es stets eine Menge Z, die jene beiden als Elemente enthält.

A entspricht

B entspricht

A und B bilden die neue Menge Z: