• Startseite
• Inhalt
• Index

Partielle Ableitung

Du wirst jetzt erfahren, worum es sich bei einer partiellen Ableitung handelt,
und wie man sie bildet. Betrachten wir eine Fläche über der --Ebene. Das ist eine Funktion , die jedem Punkt in der Ebene eine reelle Zahl zuordnet. Warum nur eine Zahl? Antwort, weil nur eine Zahl in der Funktion partiell abgeleitet wird.

Beispiel

Die Funktion soll partiell abgeleitet werden.

Wir bilden die Ableitung der Funktion nach einer Variablen, wobei wir alle
anderen Variablen festhalten, hier .

Anschaulich können wir uns die partielle Ableitung nach vorstellen, indem wir die Fläche mit der Ebene schneiden. Entlang der entstandenen Schnittkurve wird die -Achse abgeleitet.

Nun soll nach abgeleitet werden, daher bleibt .

Bei kommt kein vor, daher ist hier die Ableitung nach gleich null.

Eine Funktion mit mehreren Inputvariablen kann ebenfalls differenziert werden. Man muss nur vorgeben, nach welcher der vorhandenen Variablen differenziert werden soll.

Menge:

Funktion:

Bei einer Vektorfunktion werden mehrere Inputvariablen benutzt. Für jede dieser Variablen wird ein Funktionswert berechnet .

Ableitung:

Bei der Ableitung wird die Funktion nach einer der Variablen mit dem Index differenziert. Wenn es klar ist, welche Variable gemeint ist, entfällt die explizite Nennung, hier das .

Partielle Ableitung der Funktion nach :

Nur die Variable wird differenziert, die übrigen Variablen mit ähnlichem Namen gelten als Konstanten.

Allgemein ausgedrückt:

In Komponenten:

Die -Variable mitten drin soll differenziert werden. Vor ihr befindet sich die Variable und hinter ihr folgt die Variable . Diese Variablen gelten als Konstanten.

Differenzialquotient:

In dem Vektor soll die Variable mit dem Index differenziert werden.

Sie wird identifiziert über den Einheitsvektor . An dieser Stelle im Vektor soll der Zuwachs stattfinden.

In Komponenten:

Die Variable mit dem Index soll differenziert werden. Das geschieht, wenn der Zuwachs bei der -Variablen null wird.

Beispiel

Partielle Ableitung nach :

(Differenziere nur den ersten Faktor. Regel: )

Partielle Ableitung nach :

(Differenziere nur den zweiten Faktor.)