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Permutationssymbol von Levi-Civita

Es wird bei Kreuzprodukten gebraucht. Der Operator hat die Aufgabe, den Drehsinn eines Kreuzprodukts anzugeben. Er hat nur drei Indizes, die die Zahlenwerte eins, zwei und drei annehmen können. Je nach der Reihenfolge dieser Zahlen erhält er Operator ein positives oder negatives Vorzeichen oder der Term verschwindet ganz.

Reihenfolge der Indizes:

Beispiel

Ermittle die Reihenfolge der Indizes.

Die Indizes laufen im Uhrzeigersinn (zyklisch), also ergibt das eins.

Die Indizes laufen gegen den Uhrzeigersinn (antizyklisch), also ergibt das minus eins.

Es gibt gleiche Indizes, also ergibt das null.

Anwendung:

Bezogen auf die Einheitsvektoren lautet die Definition des Permutationssymbols:

Das Kreuzprodukt enthält zwei Einheitsvektoren, die zusammengefasst werden können.

Kreuzprodukt unter Benutzung der Einheitsvektoren:

Nach der Umsortierung der Faktoren:

Anstelle der beiden Einheitsvektoren wird hier das Permutationssymbol benutzt.

Neue Formel des Kreuzprodukts:

Die Komponenten eines Kreuzprodukts werden durch fortlaufende Kombination der Komponenten und bestimmt, die multipliziert werden. Um eine Dimension zu berechnen, müssen die Komponenten und miteinander multipliziert und schließlich deren Produkte subtrahiert werden.

Schema:

Dafür benutzt man das Permutationssymbol. Er kann positiv, negativ oder null werden. Bei einem negativen Produkt entsteht die Differenz, wie beim Schema dargestellt. Produkte mit dem Permutationssymbol gleich null entfallen völlig.

Formel:

Das ist eine Summenformel, wie du unschwer an den eckigen Klammern erkennst. Ausgeschrieben sieht die Doppelsumme so aus:

Rechenverfahren: Lege eine Komponente fest, die du berechnen willst.

Übrig bleiben die beiden Komponenten und . Diese Indizes sollen nun systematisch nacheinander hochgezählt werden, aber schön nach einem stur einzuhaltenden Verfahren.

Aufgabe: Hier soll die erste Komponente berechnet werden.

Rechne in drei Reihen, denn danach wird der Index benannt.

Erste Reihe:

Der vordere Index ist die Komponente , die immer gleichbleibt. Danach folgt der Index , der in der ersten Reihe den Wert eins hat.

Nun wird der letzte Index beim hochgezählt. Er beginnt bei eins und endet bei drei.

Zweite Reihe:

Der vordere Index ist die Komponente , die immer gleichbleibt. Danach folgt der Index , der in der zweiten Reihe den Wert zwei hat.

Nun wird der letzte Index beim hochgezählt. Er beginnt bei eins und endet bei drei.

Dritte Reihe:

Der vordere Index ist die Komponente , die immer gleichbleibt. Danach folgt der Index , der in der dritten Reihe den Wert drei hat.

Nun wird der letzte Index beim hochgezählt. Er beginnt bei eins und endet bei drei.

Das Ergebnis besteht aus der Addition der eben ermittelten (vollständigen) Reihen mit den drei Indizes..

Wir sind noch nicht fertig. Jetzt kommt das Permutationssymbol ins Spiel. Es verändert den einzelnen Term nicht oder es gibt ihm ein negatives Vorzeichen oder es zerstört ihn. Das hängt von der Reihenfolge der Indizes ab, die den Wert des Permutationssymbols bestimmt.

Übung

Benutze das Permutationssymbol, um die drei Komponenten eines Kreuzprodukts zu bestimmen.

1) Prüfung der ersten Komponente des Kreuzprodukts:

Gleiche Indizes ergeben null.

(Erste Reihe: Setze den ersten Index immer auf eins. Setze den zweiten Index bei auch auf eins (= erste Reihe). Zähle den dritten Index von eins bis drei hoch bei .)

Verschiedene Indizes im Uhrzeigersinn ergeben (zyklisch) eins.

(Zweite Reihe: Setze den ersten Index immer auf eins. Setze den zweiten Index bei auf zwei (= zweite Reihe). Zähle den dritten Index von eins bis drei hoch bei .)

Verschiedene Indizes gegen den Uhrzeigersinn (antizyklisch) ergeben minus eins.

(Dritte Reihe: Setze den ersten Index immer auf eins. Setze den zweiten Index bei auf drei (= dritte Reihe). Zähle den dritten Index von eins bis drei hoch bei .)

Ergebnis:

Das Permutationssymbol kann entfallen.

2) Prüfung der zweiten Komponente des Kreuzprodukts:

Gleiche Indizes ergeben null. Verschiedene Indizes gegen den Uhrzeigersinn (antizyklisch) ergeben minus eins.

Verschiedene Indizes im Uhrzeigersinn ergeben (zyklisch) eins.

Ergebnis:

Das Permutationssymbol kann entfallen.

3) Prüfung der dritten Komponente des Kreuzprodukts:

Gleiche Indizes ergeben null.

Verschiedene Indizes im Uhrzeigersinn ergeben (zyklisch) eins.

Verschiedene Indizes gegen den Uhrzeigersinn (antizyklisch) ergeben minus eins.

Ergebnis:

Das Permutationssymbol kann entfallen.

Alle drei Komponenten im Kreuzprodukt:

Nachfolgerbestimmung beim Kreuz-produkt

Neue Methode, um die Komponenten eines Kreuzprodukts zu finden:

Algorithmus: Der Nachfolger und dessen Nachfolger des angegebenen Index werden gesucht.

Der Index liegt im Intervall bis und entspricht der Komponente des Kreuzprodukts.

Beispiel

Bestimme die Nachfolger der Komponenten und schreibe die Differenz der Komponentenprodukte auf.

Erste Komponente des Kreuzprodukts:

und

Zweite Komponente des Kreuzprodukts:

und

Dritte Komponente des Kreuzprodukts:

und

Daraus ergibt sich das Kreuzprodukt mit den drei Komponenten .