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Polarkoordinatensystem

Das Polarkoordinatensystem hat etwas mit den geografischen Polen der Erde zu tun, die bekanntlich annähernd eine Kugelform hat. Daher stammt der Name Kugelkoordinaten. Hier braucht man zwei Winkelangaben und eine Längenangabe in der Senkrechten. Dieses Koordinatensystem hat schöne Eigenschaften, denn man kann hier seine (hoffentlich) noch vorhandenen Sinus- und Cosinuskenntnisse „ausleben” und eine „Superformel” (aus beiden Winkeln zusammengesetzte Formel) entwickeln.

Punkt ist anhängig von:

= Strecke = Azimutwinkel

= Höhenwinkel

Po­lar- (Ku­gel-) Ko­or­di­na­ten­sys­tem

Bei der Kugel (Polarkoordinaten) ist der Vektor von zwei Winkeln und einer Länge abhängig. Der Winkel liegt in der -Ebene zwischen der -Achse und der gestrichelten Strecke. Er hießt Azimutwinkel (von arabisch as-sumut = „die Wege“). Das ist ein Terminus aus der Astronomie. Er bezeichnet einen Horizontalwinkel. Der Winkel ist der Winkel in der „Höhe”, nämlich zwischen der -Achse und dem Vektor . Er heißt Polarwinkel. Die Abbildung macht das deutlich. Sie zeigt einen Kugelausschnitt.

Man kann die Längen der jeweiligen Strecken über Sinus oder Cosinus berechnen.

Fangen wir mit der-Achse an, wo man die Strecke unmittelbar über den Cosinus (Ankathete , Hypotenuse ) ermitteln kann. Der rechte Winkel des linken Dreiecks befindet sich oben links an der -Achse. Die Ankathete z ist die Höhe. Der Höhenwinkel befindet sich zwischen dieser Ankathete und der gegenüberliegenden Hypotenuse .

Umformuliert nach ergibt das:

Das ist die -Koordinate.

Die anderen Koordinaten sind schwieriger zu berechnen. Man braucht eine Zwischenvariable (Abkürzung von Hypotenuse).

Die Hypotenuse ist die Unterkante der grauen senkrechten Fläche. Ihr gegenüber befindet sich der rechte Winkel an der -Achse. Die Strecke bildet in diesem rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete .

Umgeformt nach ergibt:

(Gleichung I)

Diese Beziehung sagt noch nicht viel aus, weil noch unbekannt ist. Diese Variable ist auch eine Seite des oberen linken Dreiecks. Hier ist die Gegenkathete zur Hypotenuse .

Umgeformt nach ergibt:

(Gleichung II)

Nun haben wir zwei Formeln, in denen vorkommt. Durch Einsetzen der Gleichung II () in die Gleichung I () ergibt das eine Superformel:

So sieht die nackte Formel aus:

Das ist die -Koordinate.

Nun fehlt noch die -Achse. Dabei gehen wir ähnlich vor wie bei der Ermittlung der -Achse. Wir brauchen wieder die Hypotenuse .

Die Hypotenuse ist die Unterkante der grauen senkrechten Fläche. Ihr gegenüber befindet sich der rechte Winkel am der -Achse.

Umgeformt nach ergibt das:

(Gleichung III)

Diese Beziehung sagt noch nicht viel aus, weil noch unbekannt ist. Diese Variable ist auch eine Seite des oberen linken Dreiecks. Hier ist die Gegenkathete zur Hypotenuse .

Umgeformt nach ergibt:

(Gleichung II)

Diese Beziehung kennen wir bereits. Nun haben wir zwei Formeln, in denen h vorkommt. Durch Einsetzen der Formel in ergibt das eine Superformel:

So sieht die nackte Formel aus:

Das ist die -Koordinate.

Bitte die Bezeichnungen in den einzelnen Koordinatensystemen gut lernen und sein Vorstellungsvermögen trainieren, wie man die Position und die Länge des Vektors genau bestimmen könnte. Es kommt erst einmal darauf an, ein „Gefühl” für die Möglichkeiten einer Ortsbestimmung zu kriegen.

Zusammenfassung

In allen drei Koordinaten ist der Vektor zu finden.

Die senkrechte -Achse ist am einfachsten zu berechnen. Hier gilt Cosinus , weil die senkrechte Strecke die Ankathete zu ist.

Die x- und y-Achse unterscheiden sich nur hinten beim Winkel . Vorne ist zu „“ sehen. Dies ist die Hypotenuse mit der Zwischenvariablen , die durch konsequentes Einsetzen verschwindet.

Da der Winkel der x-Achse anliegt, erscheint hier Cosinus . Die x-Achse ist also die Ankathete.

Die -Achse liegt als Gegenkathete diesem Winkel gegenüber. Daher erscheint hier Sinus .