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Rechnen in Komponentendarstellung

In einem dreidimensionalen Vektorraum sollen drei Objekte vorhanden sein, einmal eine Basismenge und zwei Vektoren und . Die Basismenge enthält als Elemente drei Basisvektoren.

Die Vektoren haben ganz viele Komponenten (= Dimensionen). Die letzte Komponente hat den Index .

Jetzt löse ich die Basis auf und benutze ihre Komponenten. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist:

Die Komponenten werden dimensionsweise multipliziert und dann addiert.

Benutze die Summenkonvention:

Jetzt wende ich diese Formel auf die Vektoren und an. Deren Basis sind die Basisvektoren .

Mit der Summenkonvention geschrieben:

Vektorsumme :

Vektorsumme :

Die Komponenten der beiden Vektoren sind verschieden, daher werden zwei verschiedene Indizes benutzt.

Die beiden Vektorsummen werden miteinander multipliziert.

Nach der Umsortierung der Faktoren:

Anstelle des Produkts der beiden Einheitsvektoren schreibe nur das Kronecker-Delta:

Die Klammern können entfallen. Nur wenn die Indizes beim Kronecker-Delta gleich sind, liegt eine Linearkombination vor. In diesem Fall wird der Index bei allen Faktoren durch den Index ersetzt:

Nach der Definition des Kronecker-Deltas ist es eins, wenn die Indizes gleich sind.

Damit habe ich demonstriert, was es mit der Einheitsbasis auf sich hat, deren Komponenten senkrecht aufeinander stehen.

Die Komponenten der Einheitsvektoren enthalten nur die Eins oder die Null. Dargestellt als orthogonale Achsen in einem Koordinatensystem treten folgende Eigenschaften auf. Das nennt man „kanonisch“ (üblich).

Einheitsvektor in-Richtung:

Einheitsvektor in-Richtung:

Einheitsvektor in-Richtung: