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Rechnen mit dem Kronecker-Delta

Es gibt bestimmte nützliche Regeln für das Kronecker-Delta.

Symmetrie:

Die Indizes haben eine andere Reihenfolge, ansonsten sind sie gleich:

Die Indizes können vertauscht werden.

Gleichheit von Indizes:

Die Indizes sind gleich. Es liegt ein Zahlenpaar vor.

Gleiche Indizes ergeben null.

Verschiedenheit von Indizes:

Die Indizes sind verschieden:

Verschiedene Indizes ergeben null.

Produkt von Kronecker-Deltas:

Die Deltas haben einen gemeinsamen Index :

Das Produkt von zwei Kronecker-Deltas ergibt nur ein Kronecker-Delta, wenn sie einen Index gemeinsam haben. Der gemeinsame Index entfällt (hier ).

Das Vorgenannte gilt auch mit einem Vorfaktor. Das Kronecker-Delta verschwindet, aber der Vorfaktor bleibt mit den (neuen) Indizes übrig.

Das Verschwinden des Kronecker-Deltas

Der Vorfaktor und das Delta haben einen gemeinsamen Index:

Steht ein Vorfaktor vor einem Kronecker-Delta, und haben sie beide einen Index gemeinsam, so verschwindet der gemeinsame Index, ebenso das Kronecker-Delta. Der Faktor erhält dann den anderen Index vom Kronecker-Delta.

Einheitsmatrix

Eine -Einheitsmatrix kann als  geschrieben werden:

Indizes im Intervall

Die Einheitsmatrix hat in der Diagonalen Einsen, sonst Nullen. Das liegt an der Eigenschaft des Kronecker-Deltas, bei dem nur gleiche Indizes eins ergeben. In der Diagonalen der Matrix sind die Indizes gleich.

Das zweifache Epsilon:

Es können zwei Epsilons nebeneinander auftreten. Die Reihenfolge ihrer Indizes gibt an, ob ihr Ergebnis eins, minus eins oder null ergibt.

Reihenfolge im Uhrzeigersinn:

Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn:

Alle anderen Kombinationen mit doppelt vorkommenden Indizes ergeben null. Das ist praktisch. Man braucht dann nichts mehr machen.

Beispiel

Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Indizes verschieden sind und sich nur in ihrer Reihenfolge unterscheiden.

Die Auflösung eines zweifachen Epsilons geschieht über die Differenz zweier Produkte von Kronecker-Deltas.

Sechs Indizes sind daran beteiligt.

Suche zuerst einen gemeinsamen Index bei den Epsilons. Falls sie noch nicht vorne stehen, vertausche die Indizes zyklisch, bis zwei gleiche Indizes vorne stehen. Diesen Index nenne ich .

Beispiel

Der Index beim zweiten Epsilon wurde unter Beachtung der zyklischen Reihenfolge nach vorne gebracht.

Dieser Index wird im Folgenden nicht mehr beachtet. Nur noch die beiden hinteren Indizes interessieren.

Betrachte nun die beiden Produkte der Kronecker-Deltas.

Erster Term mit Kronecker-Delta:

Beachtet werden die beiden vorderen Indizes und bzw. die hinteren Indizes und . Wenn sie gleich sind, wird das Krenecker-Delta eins.

Die vorderen Indizes sind und die hinteren Indizes:

Die vorderen und auch die hinteren Indizes sind paarweise gleich, daher ist das Ergebnis eins.

Zweiter Term mit Kronecker-Delta:

Beachtet werden den äußeren und inneren Indizes. Wenn sie gleich sind, wird das Krenecker-Delta minus eins.

Die äußeren Indizes sind: und die inneren Indizes sind: . Die äußeren / inneren Indizes sind hier in dem Beispiel ungleich, daher wird der Term null.

Gesamtschau

Das Produkt der beiden Epsilon-Tensoren ist eins.

Übung 1

Bestimme die Kronecker-Deltas.

Ordne den Index des zweiten Epsilons zyklisch.

Streiche den ersten Index.

Nimm den ersten Term der Kronecker-Deltas. Schreibe die vorderen Indizes an das erste Delta. Dann schreibe die hinteren Indizes an das zweite Delta.

Weil Indizes der Deltas paarweise gleich sind, ergibt das eins.

Nimm den zweiten Term der Kronecker-Deltas. Streiche ebenfalls den vorderen Index.

Schreibe die äußeren Indizes an das erste Delta.

Schreibe die inneren Indizes an das zweite Delta.

Weil die Indizes ungleich sind, ergibt das null.

Ergebnis:

Übung 2

Bestimme die Kronecker-Deltas.

Übung 3

Bestimme die Kronecker-Deltas.

Vorzeichen bestimmen

Um das Vorzeichen für das Produkt des Skalars mit dem Kreuzprodukt zu bestimmen, wird das Vertauschungssymbol benutzt.

Das Kreuzprodukt wird ersetzt durch das Epsilon und den benutzten Variablen. Diese erhalten Indizes, beginnend mit .

Das Epsilon wird vorne hingeschrieben. Danach folgen die Buchstaben in der gleichen Reihenfolge der Indizes (ohne Klammern).

Die Indizes können nun beim Epsilon zyklisch vertauscht werden. Die Variablen , und „wandern“ mit.

Aufgabe 1: Der Index soll nach hinten geschoben werden.

Er taucht beim auf. Dieser Buchstabe wird also auch nach hinten verschoben.

vorher:

vorher:

Das entspricht:

Aufgabe 2: Der Index soll nach vorne verschoben werden.

vorher:

vorher:

Das wurde auch nach vorne geschoben.

Das entspricht:

Das Vorzeichen richtet sich nach der Zyklizität / Antizyklizität von Epsilon. Es kann nur plus eins oder minus eins herauskommen, wenn alle Indizes verschieden sind.