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Riemansches Integral

Definition

Stimmen und überein, so heißt f auf (a, b] integrierbar. In diesem Fall heißt der gemeinsame Wert Integral von f auf [a, b].

Symbolik

Beispiel

,

[a, b]

Grenzwert für beide

Satz 1

Jede auf [a, b] stetige und jede auf [a, b] monotone Funktion ist integrierbar.

Beispiel

für f nicht Riemann integrierbar

Beweis

Für stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall:

„gleichmäßige Stetigkeit“:

hängt nicht von x, y ab.

Zerlegen [a, b] so dass

Da beliebig klein seien kann

Beweisidee für monotone Funktion:

Riemanns Grundidee

Zerlegung Z, mit i = beliebig

Satz 2

Ist beschränkt, dann ist f auf [a, b] genau dann integrierbar, wenn für die Riemannsche Integralsumme σ immer (gegen den gleichen Wert) konvergiert. Dann gilt: