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Rollbewegungen

Oft treten Drehbewegung (Rotation) und die Geradeaus-Bewegung (Translation) in Kombination auf, z. B. bei einem Rad am Auto.

Wir betrachten einen Zylinder, der auf einer Ebene rollt.

Nach einer Umdrehung beträgt die zurückgelegte Strecke .

Daraus folgt die Geschwindigkeit des Schwerpunkts als dem Produkt aus der Drehgeschwindigkeit und dem Radius . Der linke Index verweist auf den Schwerpunkt.

Der Schwerpunkt bewegt sich linear vorwärts, aber ein Punkt am Rand des Zylinders durchläuft eine kompliziertere Bahn, die Zykloide.

Die Gesamtenergie dieser Bewegung besteht aus der kinetischen Energie und Rotationsenergie .

Die kinetische Energie ist das halbe Produkt aus der Masse und der quadratischen Geschwindigkeit .

Die Rotationsenergie ist das halbe Produkt aus der Drehmasse und der Drehgeschwindigkeit .

Die Gesamtenergie ist die Summe der beiden obigen Energieformen.

Am Zylinder treten verschiedene Geschwindigkeiten auf, je nach dem Angriffspunkt.

Links gibt es die Geschwindigkeit des Schwerpunkts, die nach rechts zeigt. Eine Geradeaus-Bewegung ist vorhanden, zeigt jedoch nach oben.

Oben addieren sich die beiden Geschwindigkeiten .

Unten wirken die beiden Geschwindigkeiten entgegen und heben sich dadurch auf. Der Zylinder dreht sich hier nicht.

Im Mittelpunkt gibt es nur die Geschwindigkeit des Schwerpunkts .

Experiment

Eine Raviolidose und eine Linsensuppendose rollen gleichzeitig die schiefe Ebene hinunter. Welche Dose kommt als erstes unten an?

Antwort:

Es kommt darauf an, welcher Doseninhalt mitrotiert, also eine Drehmasse zusätzlich ausübt.

Anfang:

Bevor die Dosen losrollen, haben sie nur die potentielle Energie .

Das ist die Anfangsenergie.

Ende:

Nachdem die Dosen runtergerollt sind, ist ihre potentielle Energie verbraucht, aber ihre kinetische und Rotationsenergie ist gewachsen.

Einsetzen von

Ausklammern von ergibt die Endenergie:

Errechnen der Geschwindigkeit durch Gleichsetzen der Anfangsenergie und der Endenergie und Auflösen nach .

Umstellen der Terme.

Wurzelziehen.

Die Masse , die Höhe und die Erdbeschleunigung ist für beide Dosen gleich.

Die Geschwindigkeit einer Dose ist umso größer, je kleiner ihre Drehmasse ist.

Hohlzylinder

Die Drehmasse ist für beide Dosen gleich.

Vollzylinder

Das gilt ungefähr für die Ravioli, weil die Linsen nicht mitrotieren. Zur Drehmasse der Dose kommt noch die Drehmasse des Inhalts hinzu.