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Rotation

Das Kreuzprodukt vom Gradienten mit einem Vektorfeld nennt man Rotation.

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes. Es gibt an, wie stark sich das Vektorfeld in eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert.

Das Resultat ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Rotation

Bei der Rotation wird ebenfalls der Gradient auf einen Vektor angewandt, jedoch als Kreuzprodukt. Das Verfahren ist komplizierter als bei der Divergenz. Formal sieht das so aus:

Es werden drei Determinanten gebildet. Dazu wird die -Matrix in drei Untermatrizen , und unterteilt. Der Index bei bezieht sich auf die jeweiligen Spalten.

Die erste Determinante für die Dimension errechnen. Man multipliziert das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen und subtrahiert davon das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen. Der Index bei bezieht sich auf die anderen -Elemente in der Matrix. Die Spalte von bleibt unberücksichtigt. Die Determinante wird nur von der zweiten und dritten Spalte berechnet.

Die zweite Determinante für die Dimension errechnen. Man multipliziert das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen und subtrahiert davon das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen. Die Spalte von bleibt unberücksichtigt. Die Determinante wird nur von der ersten und dritten Spalte berechnet.

Wichtig hierbei ist, dass die Differenz mit einem negativen Vorzeichen versehen werden muss. Dadurch drehen sich die Vorzeichen um.

Die dritte Determinante für die Dimension errechnen. Man multipliziert das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen und subtrahiert davon das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen. Die Spalte von bleibt unberücksichtigt. Die Determinante wird nur von der ersten und zweiten Spalte berechnet.

Das Ergebnis der Rotation ergibt aus der Summe der drei Determinanten.

Was es mit den Determinanten auf sich hat, zeige ich nun.

Wir haben ein Parallelogramm, das durch die beiden Vektoren und gebildet wird. Der Eckpunkt oben rechts ist das Resultat der Verschiebung der beiden Vektoren. Ihre - und -Komponenten (oben und unten in den Klammern) werden dabei addiert.

In der Zeichnung ist der neue Vektor oben rechts zu sehen.

Nun wird eine Beziehung zwischen Summanden und hergestellt. Was würde passieren, wenn man den ersten Term in -Richtung und den zweiten Term in -Richtung verändern würde? Gleiches gelte auch für die Terme und .

I.

II.

Der obere Punkt wird also in zwei Richtungen verschoben. Wo landet er?

Man braucht nur den neuen Schnittpunkt der neuen Strecken finden. Man nennt ihn Determinante.

Dieses Gleichungssystem mit den Gleichungen I und II kann über das Einsetzverfahren gelöst werden. „Lösung“ bedeutet geometrisch, der Schnittpunkt der beiden Geraden wird ermittelt.

Gleichung I nach auflösen.

Das Ergebnis in Gleichung II einsetzen.

Mit dem Nenner multiplizieren.

Durch dividieren. Es verschwindet dadurch.

Und die Terme umstellen. Das ergibt die Determinante dieses Gleichungssystems.

Die Determinante besteht nur noch aus den einzelnen Komponenten der beiden Vektoren. Es gibt kein und mehr, die zur Ermittlung der Determinante benutzt wurden. Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass die Komponenten erst kreuzweise multipliziert und dann subtrahiert werden.

In der Matrixschreibweise sieht das so aus:

Die Determinante ist quasi eine Zahl, die aus der beliebigen Verschiebung eines Eckpunkts in einem Parallelogramm resultiert. Sie ist nur abhängig von den benutzten Vektoren, die das Parallelogramm im Raum aufspannen. Sie ist ein neuer Punkt im Raum. Wir wissen aber nicht, wo er sich befindet. Seine Koordinaten und sind bei der Berechnung verloren gegangen. Wenn die Determinante eine Zahl (außer null) ergibt, dann liegt eine eindeutige Lösung vor.

Nehmen wir an, die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Dann muss die Determinante in die dritte Dimension ausweichen. Sie wird zu einem Pseudo-Vektor, dessen Größe der Fläche des Parallelogramms entspricht. Solche Pseudo-Vektoren stehen also senkrecht auf der aufgespannten Fläche des Parallelogramms. Das bedeutet geometrisch, dass das Ergebnis der Rotationsberechnung aus solchen senkrecht abgewinkelten Vektoren besteht. Das schaut von oben betrachtet wie ein Strudel mit lauter Vektoren aus. Daher kommt der Name Rotation.

Beispiel 1: Gegebener Vektor

Gegeben ist der Vektor

Berechne die Determinanten:

Das Ergebnis der Rotation ergibt sich aus der Summe der Determinanten.

Beispiel 2: Elektrisches Feld

Das elektrische Feld und das Magnetfeld stehen senkrecht aufeinander. Das ist ein experimenteller Befund. Das System rotiert mit der zeitlichen Ableitung des Magnetfelds . Das wird durch den Punkt über dem Vektor kangedeutet.