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Skalares Datenfeld: Gradient

Die partiellen Ableitungen lassen sich zu einem Vektor zusammenfassen:

Der Gradient ist ein Vektor mit den partiellen Ableitungen aller Komponenten einer Funktion nach . Der Gradient zeigt in die Richtung des maximalen Anstiegs.

Die Komponenten der Funktion werden partiell nach den Variablen abgeleitet, die der Dimension der Komponente entsprechen.

Beim Intervall : Die erste Komponente entspricht dem . Die zweite Komponente entspricht dem und die dritte Komponente dem .

Gradient als partielle Ableitungen je Komponente:

Gradient als Spaltenvektor:

Beispiel

Errechne den Gradienten der Funktion.

Die zweite Komponente herausgreifen:

Beispiel

Errechne den Gradienten der Funktion an der Stelle .

Vorgehensweise:

Differenziere den ersten Term nach x und dann den zweiten Term nach y.

Beispiel

Berechne den Gradienten der Funktion an der Stelle .

Die angegebenen Werte von und werden in den Gradienten eingesetzt.

Der Graph der betrachteten Funktion  kann nämlich als dreidimensionale Hügellandschaft   interpretiert werden.

Unten sind die beiden Achsen und , deren Funktion die -Achse bildet. Der Input ist und . Der Output wird in der Höhe, auf der -Achse, abgebildet.

Das bedeutet, wenn man vom Ursprung  ausgeht, dann steigt die Hügellandschaft in Richtung des Vektors  am stärksten an.

Unten links befindet sich die -Achse. Die -Achse läuft nach rechts. In der Höhe, der -Achse werden die jeweiligen Funktionswerte eingezeichnet.

Der Ursprung liegt bei . Die Spitze des Gradientenvektors wird erreicht, indem man Einheiten parallel der -Achse geht und dann Einheiten senkrecht nach oben.