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Standardmengen

Natürliche Zahlen

Die Abkürzung N steht für „natürlich“.

Ganze Zahlen

Die Abkürzung Z steht für „ganz“.

Rationale Zahlen

Die Abkürzung Q steht für „Quotient“. Der Zähler besteht aus ganzen Zahlen. Der Nenner besteht aus natürlichen Zahlen (außer der Null, was Sternchen andeutet). Das ist die Menge der Bruchzahlen (endliche und unendliche periodische Dezimalbrüche).

Reelle Zahlen

Die Abkürzung R steht für „reell“. Das ist die Menge aller Dezimalzahlen (endliche, unendliche periodische und unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche)

Komplexe Zahlen

Die Abkürzung C steht für „complex“. Die komplexen Zahlen werden in einem Koordinatensystem dargestellt mit einem reellen Teil x und einem imaginären Teil iy, wobei das i die Wurzel aus -1 bedeutet.

(Quelle: www.openclipart.org)

Über die Zahlen

Der Begriff „Zahl“ entstand im Altertum. Er wurde im Laufe der Jahrhunderte erweitert und stetig verändert, bis er schließlich den heutigen Begriffsumfang erhielt. Die Babylonier taten sich als Erste besonders hervor. Die Ägypter erreichten einen hohen Abstraktionsgrad in der Geometrie. Ihr mathematischer Kosmos war geprägt von geometrischen Formen, was sich in ihren grandiosen Pyramidenbauten manifestierte. Durch diese Denkweise eingeschränkt kamen sie nicht über den Begriff der rationalen Zahlen hinaus. Obwohl ihre griechischen Erben das ägyptische mathematisches Wissen systematisch darstellten, was sich mit dem Namen Euklid verbindet, hatten sie einen Horror vor den irrationalen Zahlen, also Bruchzahlen, deren Nachkommawerte nie abbrechen und die nicht periodisch sind.

Selbst die gebildeten Griechen sträubten sich davor, aus dem alten geometrisch idealisierten Denkschema auszubrechen und auch andere Zahlen als die „normalen Bruchzahlen“ (rationalen Zahlen) zu akzeptieren. Dies gelang erst zwei Tausend später den anderen Europäern im Westen und in der Mitte Europas, die nicht so vorbelastet an die Sache herangingen.

Die Entwicklung der Zahlen war in der Menschheitsgeschichte nicht geradlinig. Die meisten Zahlzeichen sind ausgestorben. Überdauert haben die indischen Zahlzeichen, die schön praktisch sind und auch die Null haben. Das hängt eng mit der indischen Religion zusammen, mit dem Ziel des Auslöschens der Triebe, der bösen Gedanken und des Haftens an Dingen und Besitz. Das Ziel der Hindus ist das Nirvana (Verlöschen, Leerheit), wo es keine Wiedergeburt mehr gibt. Die Buddhisten haben dieses Konzept später in ihre Lehre übernommen und sich darauf extrem spezialisiert.

Religion und Mathematik sind eng verbunden. Das merkt man besonders in der höheren Mathematik, wo man mit unendlichen kleinen und großen Zahlen „rechnet“.

Die Babylonier waren wahre Zahlenmeister. Sie rechnen in Millionen und hatten ein ganz anderes Zahlensystem als wir. Sie zählten bis zur Zahl 60, wir bis zur Zahl 10, um auf die nächste Stelle (Einer, Zehner, Hunderter ...) zu kommen. Was wir von ihnen ererbt habt, ist die Einteilung der Zeit in 60 Minuten und 60 Sekunden.

Babylonische Zahlen (Bild: Josell7)

Diese Zahlen in Keilschrift konnten sich nicht durchsetzen. Sie wurden in Ton gedrückt und dann gehärtet. Es wäre heute ja auch ziemlich umständlich, Mathematikbücher aus Ton mit dem Gabelstapler zu transportieren.

Die alten Ägypter kannten schon das Stellensystem mit den 10 Ziffern wie bei uns. Interessant ist, wie sie die Zahlen bildlich darstellen. Bei der 1000 seht ihr eine Wasserlilie, die es zu tausenden gibt. Die Kaulquappe ist schon hunderttausend Mal vorhanden. Und die Million kann nur ein Gott symbolisieren.



Altägyptische Zahlen

Die Ägypter haben uns die Geometrie hinterlassen, die vom Griechen Euklid in einem Buch logisch zusammengefasst wurde. Der afrikanische Einfluss auf die europäische Mathematik kann man nicht hoch genug einschätzen. Nicht alles, was die Griechen uns hinterlassen haben, ist auch original griechisch.

Bei den Römern gab es die vielen Striche und einige Abkürzungen von Zahlnamen. Es gab keine Null! Das muss man sich mal vorstellen. Nullen wurden durch Lücken bei den Zahlen dargestellt, was oft zu Fehlern führte. Die Null ist eine Erfindung der Inder, deren Vorbild eine leere Muschel war.

I = 1
II = 3
III = 4

C = centum (hundert)
M = mille (tausend)

Die Zahlen der alten Römer

Addiert mal

CCC + L + IV = CCCLIV

Das ist schwerer zu lesen als

300 + 50 + 4 = 354

Aus diesem Grund kamen die römischen Ziffern in der Neuzeit aus der Mode. Adam Ries(e), der große Rechenmeister im 16. Jahrhundert, benutzte sie nicht mehr.

Die Chinesen haben immer noch ein ähnliches System wie bei den römischen Ziffern. Für Experten sind hier Einflüsse bei der Schreibweise aus dem indischen Kulturraum unverkennbar.

Chinesische Zahlen

Die Chinesen von heute verwenden ebenfalls die indischen Ziffern, die über die Arabern zu uns kamen. Deshalb werden sie allgemein als arabische Ziffern bezeichnet, was aber geschichtlich nicht richtig ist. Interessant ist, dass die Deutschen diese Zahlen genauso lesen wie die Araber, nämlich von rechts nach links.

21 = deutsch: einundzwanzig (wie im Arabischen)

21 = englisch: twenty one (20 +1, wie es logischer wäre)

Übersicht der Ziffern (Bild: Madden)

Die Zahlen in der indischen Devanagarischrift sind schön geschwungen. Ähnlichkeiten zu unseren heutigen europäischen Zahlen sind unverkennbar. Beim Tamil aus Südindien braucht man viel Fantasie, um eine Verwandtschaft zu entdecken.

Wir unterscheiden heute ganz verschiedene Zahlentypen, angefangen von den natürlichen Zahlen bis zu den komplexen Zahlen. Wer ernsthaft Mathematik betreibt, der sollte offen sein für neue Gedankenwege, sich nicht von Denkverboten einschränken lassen und nicht wie willenlose Sklaven ausgelatschte Wege beschreiten, vielmehr kreativ denken, neue Sichtweisen aufgreifen, auch wenn sie sich als Sackgasse erweisen sollten.

Solche Denkweisen machen großes Vergnügen, schärfen den Verstand und bringen manchmal revolutionäre Neuerungen, was aber eher selten ist.

Natürliche Zahlen sind alle Zahlen, die man mit den Fingern abzählen kann, bei 1 anfangen und unendlich weiter gehen. Die Null gehört nicht zu diesen Zahlen, es sei denn, alle Finger wären amputiert, aber dann kann man nicht mehr zählen. Spaß beiseite, die Null soll nicht dazu gehören. Nur was existiert, wird als zählbar angesehen. Das Nichts ist demnach nicht zählbar und wird nicht als „natürlich“ vorhanden erachtet. Die natürlichen Zahlen haben immer Nachfolgezahlen, die sich zumindest um 1 unterscheiden. Eine gute Ordnung (Wohlordnung) ist bei ihnen erkennbar, was nicht nur Vorteile beim Rechnen hat, sondern auch sonst im Leben nicht ganz unwichtig ist. Der berühmte Mathematiker Kronecker behauptete sogar „Gott habe die natürlichen Zahlen gemacht“, doch das ist Spekulation, setzt die Begrifflichkeit „Gott“ doch bestimmte Eigenschaften für eine solche Entität („Seinhaftigkeit“) voraus, die erst induktiv bewiesen werden müssten.

Die alten Inder haben die Null erfunden. Sie nahmen eine leere Muschel als Vorbild der Null. Die Römer hatten noch kein separates Zeichen für die Null. Stattdessen benutzten sie einen Zwischenraum zwischen ihren Zahlzeichen, was natürlich zu Missverständnissen führen konnte.

Alle Zahlen beruhen auf einer menschlichen Abstraktion, angepasst an die Bedürfnisse des Homo sapiens. Andere Tierarten hätten wahrscheinlich andere abstrakte Gebilde erfunden, die ihnen nützen und auf die Natur anwendbar sind. Der praktische Rückbezug auf die Natur stützt die „Wahrheit“ der Mathematik.

„Neue Zahlenmengen sind konstruktiv, und zwar ausgehend von der Menge der natürlichen Zahlen, geschaffen worden. Dafür gab es zwei Gründe: Einmal das Problem des Messens von Größen, zum anderen die innere Notwendigkeit der Arithmetik, die unbeschränkte Durchführbarkeit von solchen Rechnungen sicherzustellen, für die die Menge der natürlichen Zahlen nicht ausreicht.“ [Otu04, S. 10]

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen mit einem positiven oder negativen Vorzeichen, einschließlich der Null.

„Die negativen Zahlen (negativus, lat. verneinend) sind die zweite Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen. Die Gleichung x + b = a hat als Lösung x = a – b. Die nichtausgerechnete Differenz a – b, die für b > a vorerst nur eine Schreibfigur darstellt, wird als negative Zahl eingeführt.“ [Otu04, S. 10]

Zerhackt man diese ganzen Zahlen, entstehen neue Zahlen, die rationalen Zahlen, ein lateinischer Begriff für „Bruch“. Wer also eine formschöne Vase zerdeppert, der macht aus „Eins“ ein „Viel“, er dividiert (= zerteilt), nur dass dies zu Lasten der Vase geht und die tausend Scherben mit dem Handfeger zusammengekehrt werden müssen.

„Die gebrochenen Zahlen (Brüche) sind die dritte Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen. Die Gleichung hat als Lösung .

Eine gebrochene Zahl (ein Bruch) entsteht, wenn der nichtausgerechnete Quotient a:b (a, b ganze Zahlen, ), in dem b kein Teiler von a ist, als neue Zahl q erklärt wird (a:b=q, q Quotient).“ [Otu04, S. 13]

Mit anderen Worten, die Umkehrung der Multiplikation ist die Division, was den Quotienten q ergibt. Einschränkend muss man hier sagen, durch 0 dividiert man nicht. Den Quotienten q kann man auch als a:b notieren. Das ist dann der Rechenvorgang, während q das Ergebnis der Rechnung ist.

Rationale Zahlen bestehen nun aus den ganzen Zahlen und positiven oder negativen Brüchen mit abrupt abbrechenden Nachkommawerten oder periodisch dahin schwingenden Nachkommawerten einhergehen. Bei diesen Zahlen gibt es also ein Ende, egal, ob der Bruch wirklich bei einer bestimmten Nachkommastelle abhört oder er es sich überlegt, mit den gleichen Zahlensalat von vorne zu beginnen und das bis ins Unendliche, wie der Topf in einem Märchen, der nicht mehr aufhörte, Brei zu erzeugen und über den Topf schwappte. Es muss sich hier aber nur um denselben Brei handeln. Ist nur eine Ziffer in der Periode anders, dann ist das kein Einheitsbrei mehr, dann ist es aus mit der Rationalität und eine andere Zahlensorte wurde generiert, die nun folgt.

Bei der Division gibt es einen speziellen Begriff, den der Teilbarkeit. Sie beschreibt eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt. Die Geteilt-Rechnung geht also auf.

Eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es eine ganze Zahl n das Vielfache von a ist. Man kann also die ganze Zahl a mit einer anderen ganzen Zahl n multiplizieren, was dann die ganze Zahl b ergibt.

Man sagt dann „b ist Vielfaches von a“.

Formal

Sprich: „a teilt b” (was bedeutet: b wird durch a geteilt)

Hier könnt ihr schön sehen, dass die Zahl a nur mit einer geeigneten Zahl n multipliziert werden muss, um die Zahl b zu ergeben.

Wenn man das Pferd von hinten aufzäumt, kann man auch sagen: „a ist Teiler von b“ oder „b ist teilbar durch a“. Und damit wären wir beim Thema ganzzahlige Division, welche in manchen Programmiersprachen mit einem eigenen Symbol gekennzeichnet wird, z. B. in Visual Basic mit dem Backslash (\).

Schreibt man die obige Formel in die normale gewohnte Notation, dann ergibt das:

oder

Man multipliziert das a mit n, was dann b ergibt.

Irrationale Zahlen sind keine „unvernünftigen“ Zahlen, wie der Name vielleicht andeutet, vielmehr soll das „un-rationale“ Zahlen bedeuten. Bei den “un-rationalen” (nicht-rationalen) Zahlen handelt es sich um Bruchzahlen, deren Nachkommastelle nie aufhört und die sich nicht periodisch wiederholen. Diese Definition ist eine Negativdefinition, fängt also die Zahlen auf, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören.

Achtung! Die Mathematiker lieben neue Begriffe. Um vernünftig mit den obigen Zahlen hantieren zu können, werden sie unter einem Übernamen, den reellen Zahlen zusammengefasst. Damit kann man schon eine ganze Menge anfangen und reicht aus, sich durchs Leben zu schlagen. Die reellen Zahlen kann man eindeutig auf einem Zahlenstrahl von bis darstellen. Sie bleiben eindimensional.

„Nach dem so genannten Zuordnungsaxiom von G. Cantor gibt es zu jeder reellen Zahl (sie kann rational oder irrational sein) genau einen Punkt auf der Zahlengeraden, und es wird eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten und den reellen Zahlen hergestellt. Die Menge der reellen Zahlen füllt die Zahlengerade lückenlos aus, wegen dieser Stetigkeitseigenschaft wird sie auch Kontinuum genannt.“ [Otu04, S. 18]

Zahlengerade (Quelle: Romanm)

Doch stößt man mit ihnen bei bestimmten Rechenoperationen an eine klare Grenze, die lange Jahrhunderte unüberwindbar schien. Selbst die klugen Araber in der Hochzeit ihrer islamischen Kultur überwanden sie nicht. Es wurde Jahrhundert nach ihnen ein neuer Zahlenbegriff kreiert mit dem schönen Namen imaginäre Zahlen. Die hatten den früheren Mathematikern der Neuzeit in Europa so viel Kopfzerbrechen bereitet. Ihr Name weist darauf hin, dass sie nur „vorgestellt“ werden, obwohl sie genau wie die anderen Zahlen auf einer Abstraktion von Naturphänomenen beruhen. Sie entstehen bei einer bestimmten Rechenoperation, nämlich wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl zieht. Die Wurzel aus minus eins wird kurz „i“ genannt, was die Abkürzung von „imaginär“ ist.

Wenn man schon die Wurzel aus allen Zahlen ziehen möchte, dann darf man nicht halt machen vor den negativen Zahlen. Die Abkürzung i für solche Operationen ist nun mal handlicher als mit dem Wurzelzeichen und der −1 dahinter.

Zu guter Letzt mischt man alle Zahlen zusammen und macht sie zu den so genannten komplexen Zahlen (lat. complectari = umarmen, umfassen). Dieser Name deutet an, dass es sich um „vielschichtige Zahlen“ handelt. Es sind prächtige Zahlen, die nur noch zweidimensional darstellbar sind. Man braucht hier ein Koordinatensystem mit einer senkrechten (= imaginären) Achse und einer waagerechten (= reellen Achse).

Das wird so symbolisiert:

z = komplexe Zahl, a = reelle Zahl, bi = imaginäre Zahl

Rechts neben dem Gleichheitszeichen steht zunächst die reelle Zahl, und dann folgt die imaginäre Zahl. Die reelle Zahl a ist vergleichbar mit einem Weitspringer auf der Ebene, je nach Vorzeichen nach links (= negativ) oder nach rechts (= positiv).

Das b vor dem Buchstaben i gibt an, wie groß diese imaginäre Zahl ist, also wie hoch man senkrecht im Koordinatenkreuz springen muss. Das ist der Fall bei einem positivem b. Ist das Vorzeichen negativ, braucht man sich nur fallen zu lassen. Die Erdanziehungskraft sorgt schon dafür. Doch wird man nie den Boden unter den Füßen erreichen. Es geht unendlich tief runter.

Komplexe Zahlenebene (Quelle: Antonsusi)

Die oben besprochenen Zahlenbegriffe haben sprechende Abkürzungen in der Mathematik. Achten Sie auf die Anfangsbuchstaben.

oder bedeuten natürliche Zahl einschließlich der Null. Manche Autoren schließen die Null aus, ich aber nicht.

bedeutet ganze Zahl. Dieses Symbol tanzt aus der Reihe. Es ist die Abkürzung des Wortes „ganz“.

bedeutet rationale Zahl. Das „Q“ ist die Abkürzung für „Quotient“, also Bruch.

bedeutet reelle Zahl.

Für die irrationalen Zahlen gibt es keine Abkürzung. Man kann sie als reelle Zahlen ohne ( \ ) die rationalen Zahlen darstellen:

Ich habe mal den Buchstaben I dafür genommen. Das ist meine Erfindung :-)

i bedeutet imaginäre Zahl.

bedeutet komplexe Zahl. Das lateinische “C” wurde in klassischer römischer Zeit wie “k” ausgesprochen, daher dieser Buchstabe als Abkürzung für „complex“.

John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d. h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen.