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Summensymbol

Einen langen Ausdruck mit Summanden kann man kürzer mit dem Summenzeichen Σ schreiben. Das ist ein griechischer Buchstabe und heißt Sigma, entspricht dem lateinischen S.

Beispiel

So ist ein Summenzeichen ganz allgemein aufgebaut. a(k) ist eine beliebige Funktion, wo irgendwo die Laufvariable k drin versteckt ist, häufig als Index oder Exponent. Sie kann auch ein Faktor sein.

Beispiele

1) Laufvariable als Index

2) Laufvariable im Exponenten

3) Laufvariable als Faktor

Polynom

Ein allgemeines Polynom n-ten Grades hat die Form:

Der Index n und der Exponent n sind hierbei natürliche Zahlen .

Der Begriff Polynom ist griechisch und bedeutet „vielnamig“. Gemeint sind die vielen Terme (Ausdrücke) der Gleichung. Ihre Namen entsprechen zwar nicht den üblichen Personennamen, sind dennoch Namen für den jeweiligen Term.

Bis heute ist noch kein Mathe-Freak auf die Idee gekommen, sein Kind nach einem Term zu benennen (Smiley!)

Zur Wiedergabe eines Polynoms sieht das Summenzeichen so aus:

Der Summenausdruck besteht aus vier verschiedenen Teilen.

Die Laufvariable i steht unter dem Sigma. Sie beginnt mit dem Wert 0 und endet mit dem Wert n. Wie groß n sein, kann man festlegen. Hochgezählt von 0 bis n wird in Einserschritten. Die untere Grenze beginnt mit i = 0. Das ist der Startwert. Die obere Grenze endet mit i = n. Das ist der Endwert. Die Zahlen der Laufvariable i werden schrittweise anstelle des Buchstabens i in den Term rechts neben dem Summenzeichen eingesetzt.

Beispiel

Obere Grenze: n = 3

Die Laufvariable i wurde durch die entsprechenden natürlichen Zahlen von 0 bis 3 ersetzt. Nun können wir noch eine simple Potenzregel beim ersten Term anwenden und das Polynom sieht dann wie oben aus.

fällt aus der Gleichung raus. Jetzt haben wir ein Polynom mit vier Termen.

Die Anzahl der Terme ergibt sich aus einer kleinen Rechnung: Anzahl der Terme = obere Grenze – untere Grenze + 1. In unserem Beispiel sind das 3 – 0 + 1 = 4 Terme.

Mit Hilfe des Summenzeichens kann man unendliche Reihen bilden.

Beispiel

Hier wird ein unendlicher Bruch gebildet.

Hier wird eine Summe der potenzierten 2 von 1 bis 100 gebildet. Das Ergebnis ist eine ziemlich große Zahl. Schon allein 2¹⁰⁰ ist 1,267506 * 10³⁰. Dazu kommen noch die anderen Terme.

Nullsumme

Ein besonderer Gag wäre es, die obere Grenze kleiner als die untere zu machen. Das ergibt nach Definition immer 0, denn nichts würde addiert.

Beispiel

Zusammenfassen des Summenzeichens

Bei gleichem Start- und Endwert beim Summenzeichen kann man bei Summen zu einer Summe zusammenfassen.

Zwischensumme

Zwischensummen lassen sich bequem über den Summenindex festlegen. Man beginnt mit einer bestimmten Zahl m und zählt sie hoch bis zur letzten Zahl n. Der Beginn der Zählung kann also nach Wunsch festgelegt werden. Wichtig ist, dass der Startwert immer kleiner als der Endwert ist .

Der Index k ist eine ganze Zahl. Die Variable ist eine reelle Zahl.

Eine Summe kann in zwei Summen aufgeteilt werden. Dazu wird der Endwert verändert. Der Endwert der ersten Summe wird zum Startwert der neuen Summe, allerdings muss er um 1 erhöht werden. Die Indizes hinter den Summen verändern sich nicht. Die zweite Summe erhält den Endwert der anfänglichen Summe.

Die zweite Summe hat einen neuen Endwert m erhalten. Er dient als Startwert der zweiten Summe, erhöht um 1.

Indexverschiebungen

Bei Indexverschiebungen wird der Startpunkt (untere Grenze) der Laufvariablen verändert. Man muss hier etwas aufpassen. Man muss immer beide Grenzen beachten, wenn man die Laufvariable verschiebt. Das reicht aber noch nicht. Auch der Index im Termin muss verändert werden. Das ist immer entgegengesetzt.

Wenn die untere Grenze runter gesetzt wird, dann wird auch die obere Grenze entsprechend runter gesetzt. Der Laufindex beim Term hingegen wird entsprechend herauf gesetzt.

Beispiel

Wir wollen den Startpunkt auf 1 setzen. Also werden die Laufvariable der unteren Grenze und die Laufvariable der oberen Grenze um 2 verringert. Ihr Name wird zu besseren Unterscheidung geändert. Sie heißt nun j.

Durch die Indexverschiebung würde sich auch die Position des Terms ändern, nämlich nach links rutschen. Damit sie unverändert bleibt, muss man den Index des Terms entsprechend nach rechts verschieben, also j + 2.

Beispiel

Hier wird das erste Glied aus der Summe herausgezogen. Das führt zu einer Indexverschiebung des i. Die untere Grenze beginnt nun mit 1. Die obere Grenze n hat sich nicht verändert.

Endwert größer n

Der letzte Term einer Summe kann aus dem Summenzeichen herausgezogen werden, besonders, wenn es sich um n+1 handelt. Dieser Term erhält dann den Index k+1.

Der Endwert ist n+1. Er kann auf n erniedrigt werden.

Nachdem der Endwert um 1 erniedrigt wurde, kann der letzte Summand aus der Summe herausgezogen werden. Voraussetzung für die Spielerei ist, dass der Endwert n größer oder gleich dem Startwert m-1 ist: .

Summen- / Produktsymbol

Sind Elemente eines Ringes. Dann setze das Summensymbol wie folgt:

Sind sie sogar Elemente eines kommutativen Ringes setzen wir das Produktsymbol wie folgt:

Diese Zeichen binden ähnlich wie das Integralzeichen solange, wie nur Multiplikationen vorgenommen werden.