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Teilmenge und Inklusion

Teilmenge (Inklusion)

Eine Menge heißt Teilmenge oder Untermenge einer anderen Menge , wenn sie in dieser Menge teilweise oder ganz enthalten ist.

Schreibweise:

„ ist Teilmenge der Menge .“

Der kleine Strich unter dem ⊂ ist von einem Gleichheitszeichen = übrig geblieben, gleichsam eine Reminiszenz. Das hat den Sinn, dass die Teilmenge also genauso groß wie die Menge sein könnte, nur was hat man davon. Ein Teil sollte immer kleiner sein als das Ganze. Das Symbol soll an Untermenge erinnern.

Steht das Symbol ganz allein ohne das halbe Gleichheitszeichen, also so ⊂ , dann bezeichnet es eine echte Teilmenge. Mit diesem Strich heißt es unechte Teilmenge. Irgendwie erinnert es an das Silikonkissen im Busen einer Frau, weshalb die Wendung „bei der ist nicht alles echt” stimmt.

heißt echte Teilmenge von , wenn und gilt.

Wo es eine Untermenge gibt, da sollte man auch eine Obermenge erwarten. Und tatsächlich, auch dieser Begriff existiert. Man dreht dazu nur das Teilmengensymbol um:

Die Untermenge: ⊆

wird zur:

Obermenge: ⊇

Gewöhnlich wird in Lehrbüchern nur das gemeine Untermengensymbol ⊂ auch für die unechte Teilmenge benutzt, was ich aber ablehne.

Teilmenge

Es besteht die Inklusionsbeziehung für alle x:

Ach so. Wo es eine bestimmte Aussage gibt, da ist auch die Gegenaussage nicht fern. Es gibt, wie der Leser bereits vermutet hat, auch ein Symbol für den Fall, dass keine Teilmenge vorhanden ist, was durch den senkrechten Strich angedeutet wird.

Die Verneinung der Teilmenge schreiben wir also:

sprich: „ist keine Teilmenge von”.

Partition

Enthält eine Grundmenge gefüllte Teilmengen, die zueinander disjunkt sind, dann heißt jede einzelne Teilmenge die Partition P der Grundmenge .

Teilmengen bestehen aus Elementen, die aus einer bestimmten Menge („Ausgangsmenge“) zu einer eigenen Menge zusammengefasst wurden. Ihre Elemente liegen alle in der Ausgangsmenge.

Teilmenge der Trommel und der Spielkarte (Quelle: Stephan Kulla)

In dem Schaubild wird die Teilmenge zart rosa dargestellt. Vergleicht das mal mit der Schnittmenge, sie zu beiden Mengen gehört, die ihrerseits noch eigene Elemente haben. Die Teilmenge hat nur die Elemente einer Menge, nicht aber von zwei Mengen. Das ist der große Unterschied.

Formal:

Sprich: Die Menge A ist Teilmenge der Menge B, wenn alle Elemente x der Menge A auch in der Menge B vorhanden sind.

Beachtet den Pfeil . Er drückt eine Implikation („einseitige Bedingung“) aus. Die Formel der Teilmenge unterscheidet sich von der Formel der Schnittmenge durch diesen Pfeil. Zwar haben die beiden Mengen Elemente gemeinsam, doch bei der Teilmengenbestimmung ist die Teilmenge A ganz in einer anderen Menge B eingebettet

Beim Symbol der Teilmengenbeschreibung gibt es einen Glaubenskrieg in der mathematischen Literatur. Manche Autoren schreiben für die (unechte) Teilmenge

oder (unechte Teilmenge)

Ich benutze das eindeutige Zeichen mit dem Strich unten (ein halbes Gleichheitszeichen), was andeutet, dass die Teilmenge sich wie eine Supernova aufblähen könnte und die gleichen Elemente wie die Menge annehmen würde, in der sie eingebettet ist. Das ist durchaus möglich, wenn man vorher nicht weiß, wie viele Elemente die Teilmenge und die andere Menge haben.

Bei echten Teilmengen, also Teilmengen, die kleiner sind als die Menge, in der sie eingebettet sind, werden mit den Symbolen oder oder (echte Teilmenge) gekennzeichnet.

Ich bevorzuge die Schreibweisen:

echte Teilmenge

unechte Teilmenge mit dem halben Gleichheitszeichen.

Das letzte Zeichen werde ich immer benutzen. Damit wird es keine Missverständnisse geben. Den Teilmengenbegriff werde ich nun vertiefen.

Die Bezeichnung Teilmenge ist dadurch gerechtfertigt, dass jedes Element aus A auch Element von B ist.

Ich definiere allgemein:

Das sieht etwas anders aus als oben mit den Mengenklammern, bedeutet aber das Gleiche. Der Allquantor weist darauf hin, dass jedes Element x in der Menge auch in der Menge B enthalten sein muss. Wenn das nicht der Fall sein sollte, liegt keine Teilmenge vor.

Das Zeichen ist eine definitorische Äquivalenz („Gleichwertigkeit“) des linken und rechten Ausdrucks.

Warum das unechte Mengensymbol so wichtig ist

Will man eine echte Teilmenge haben, dann benutzt man das Symbol . In diesem Fall darf die Teilmenge nie so groß werden wie die andere Menge, in der sie enthalten ist. Das ist oft unpraktisch. Es behindert ein schönes Beweisverfahren. Denn man kann durch den Vergleich zweier Teilmengen herausbekommen, ob sie gleich sind.

Wenn eine Menge in einer anderen Menge enthalten ist und die andere Menge auch in der ersten Menge enthalten ist, dann sind sie gleich. Wenn zwei Mengen gegenseitig Teilmengen sind, dann sind sie gleich. Sie haben die gleichen Elemente.

Ihr habt bemerkt, wie wichtig es ist, das Symbol für die unechte Teilmenge zu benutzen. Eine wichtige Erkenntnis ist: Wenn zwei Mengen ineinander enthalten (Teilmengen) sind, müssen sie gleich sein.

Inklusion

A ist Teilmenge von B (Quelle: Ed g2s)

Ist A eine Teilmenge von B, so heißt B Obermenge zu A. Die Teilmengenbeziehung wird auch Inklusion („Einschluss“) genannt.

Die Eigenschaften der Inklusion („Einschluss“)

Für Mengen A und B gilt:

1. Reflexivität („Rückbezüglichkeit“)

Eine Teilmenge kann in sich selber enthalten sein.

2. Antisymmetrie („Gegenseitiges Ebenmaß“)

Wenn zwei Mengen gegenseitig Teilmengen voneinander sind, dann sind sie gleich. Sie haben dann die gleichen Elemente. Der Begriff Antisymmetrie sollte nicht verwechselt werden mit der Asymmetrie („Nicht-Ebenmaß“). Er bedeutet gegenseitiges Ebenmaß, praktisch eine zweifache Spiegelung hin und her.

3. Transitivität („Übergange“)

Wenn eine Menge in einer anderen Menge enthalten ist, und diese andere Menge nochmals in einer anderen Menge enthalten ist, dann ist auch die erste Menge in der letzten Menge enthalten.

3. Leere Menge

Die leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge.

Standardmengenbeziehung

Die Standardmengen bilden in einer bestimmten Reihenfolge Teilmengen voneinander. Auch die leere Menge ist eine Teilmenge.