• Startseite
• Inhalt
• Index

Totale partielle Ableitungen

Betrachtung der gesamten Auslenkung in - und -Richtung

Betrachtung der -Richtung nach Reduzierung der Höhe

Betrachtung der -Richtung nach Reduzierung der Breite

Grenzwertbetrachtungen der Summe

Das Inkrement auf setzen.

Die Terme zu einfachem verkürzen und die Faktoren umstellen.

Vektorschreibweise als Skalarprodukt

Alt:

---

Alt:

Eine partielle Ableitung beschreibt eine winzige Änderung einer Variablen an jedem Punkt der Funktion. Man spricht von der Steigung der Funktion in diesem Punkt.

Ein totales Differential  verrät hingegen, welche Steigungen die Variablenänderungen der Funktion haben. Es liegt also schon eine Variablenänderung vor und es wird durch (del) angegeben, welche Steigung sie hat.

Änderungsbetrachtung

Wenn die Änderung ganz winzig ist, schreibt man:

Das totale Differenzial betrifft alle Variablen der Funktion . Es ist die Summe aller Produkte aus den partiellen Ableitungen und den jeweiligen Variablenänderungen.

Die Komponenten können in eine Gleichung geschrieben werden, z.B. bei drei Dimensionen.

Komponentenschreibweise

Die Symbole, und  stehen für die Änderungen von , und .

Beispiel 1

Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge und der Breite .

Wie groß ist der Umfang laut der Umfangsfunktion ?

Zahlen für die Länge und Breite einsetzen.

Um wie viel cm ändert sich der Umfang , wenn sich die Länge um und die Breite ändert?

Benutze die Formel für das totale Differenzial.

Partielle Ableitungen von bilden.

Einsetzen in die Formel des totalen Differenzials.

Umfangsänderung:

Beispiel 2

Gegeben ist die Funktion

Berechne das totale Differenzial über die partiellen Ableitungen.

Das totale Differenzial  beschreibt die Änderung der Funktion f für die marginale Änderung aller Funktionsvariablen. 

Das totale Differenzial ist die Summe aller Produkte aus den partiellen Ableitungen und den jeweiligen Variablenänderungen .

Komponentenschreibweise

Alte Notation: