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Umkehrbarkeit

Bei der Umkehrbarkeit fragt man sich, ob man die Funktion überhaupt umkehren kann. Das könnte vielleicht im ganzen Definitionsbereich klappen. Wenn man Pech hat, muss man die Funktion in mehrere Bereiche aufteilen und für jeden Bereich eine eigene Umkehrfunktion erstellen.

Die Umkehrfunktion erhält man zeichnerisch, in dem man die Funktion an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt.

Bei der folgenden Umkehrfunktion gibt es ein gewaltiges Problem: Ein-Wert liefert gleich drei -Werte. Damit kann man nicht arbeiten und widerspricht der Definition einer Funktion, die eindeutige Werte liefern soll.

Die Funktion ist nicht im gesamten Bereich umkehrbar, sondern muss in mehrere Teilbereiche aufgeteilt werden. Als Grenzen solcher Bereiche wählt man immer Extrempunkte (Berg, Tal), Definitionslücken oder senkrechte Asymptoten aus.

Die erste Teilfunktion geht von bis zum Tiefpunkt.

Funktion

Umkehrfunktion

Die zweite Teilfunktion beginnt beim Tiefpunkt und endet beim Hochpunkt.

Funktion

Umkehrfunktion

Die dritte Teilfunktion beginnt beim Hochpunkt und geht bis .

Funktion

Umkehrfunktion

Falls es keine Extrempunkte gibt, ist die Funktion im ganzen Definitionsbereich umkehrbar. Das bedeutet, die erste Ableitung der Funktion liefert keine Lösung. Es gibt kein !

Damit ist die Funktion monoton und damit umkehrbar.

Ansonsten muss man die Funktion in mehrere Bereiche aufteilen, die dann umkehrbar sind.

Das Symbol für die Umkehrfunktion ist ein stilisiertes (= umkehren). Man vertauscht die Variablen und und löst dann nach auf.

Umkehrfunktion: