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Vektorfunktionen

Auch Vektoren können als Input einer Funktion benutzt werden.

Wenn man einen Vektor und seinen Zuwachs als Inputwert eingibt, sieht die Darstellung der Funktion mit Komponenten so aus:

In senkrechten Komponenten:

Bei Vektoren darf man die Inputsummanden trennen und den Funktionswert einzeln berechnen (gemäß dem Axiom der Linearität).

Muster:

Übertragen auf Vektoren:

(Auf den Malpunkt achten.)

In Komponenten:

Nach dem Axiom der Linearität können die Funktionswerte getrennt addiert werden.

Beispiel

Trenne die Funktionswerte der ersten Komponente.

Hier folgt dem in der Klammer. Trenne die beiden Variablen auf.

Nun steht nur noch in der Klammer. Der Zuwachs steht als -Funktionswert hinter der Klammer. Er drückt die Beziehung aus.

Setze diesen Ausdruck ein.

Dieses Spiel kann man für alle Komponenten machen. Am Schluss stehen die -Terme links in der Klammer und die Del-Funktionsterme rechts daneben.

Die einzelnen Funktionen mit dem -Input werden als Vektor so geschrieben:

Die Summe der Del-Funktionsterme hat eine Kurzschreibweise:

Oder noch kürzer:

Die Funktion lautet mit den Kurzschreibweisen:

In Komponenten:

Kurze Summenschreibweise:

Der Gradient einer Vektorfunktion lautet:

Der Gradient gibt die Steigung jeder einzelnen Komponente ( des Vektors an.

Wird der Index mit einer Zahl besetzt, so wird nur diese Komponente abgeleitet.

Beispiel

Bilde die Ableitung für die dritte Komponente.

Funktion:

Abgeleitete Funktion nach :

(Die Ableitung von ist .)

In Komponenten:

Beispiel

Berechne den Gradienten der Funktion:

Gradient von berechnen.

Vorgehensweise: Differenziere jeweils die Komponentenausdrücke mit , und nach der Dimension.

Komponentenausdruck mit :

Die innere Ableitung von ist eins. Die übrigen Komponenten mit und bleiben unverändert. Sie werden als Konstanten betrachtet.

Komponentenausdruck mit :

Die Ableitung von ist eins. Sie wird nicht geschrieben. Die übrigen Komponenten mit und bleiben unverändert. Sie werden als Konstanten betrachtet.

Komponentenausdruck mit :

(Die Ableitung von ist .)

Die übrigen Komponenten mit und bleiben unverändert. Sie werden als Konstanten betrachtet.

Beispiel

Betrachte die Funktion an der Stelle .

Zur Lösung der Aufgabe brauchst du eine Funktionengleichung, die eine lineare Näherung darstellt.

Beginne mit dem Startwert. Dazu setze für jede Komponente der Funktion null ein.

Errechne jetzt den Gradienten an der Stelle . Dazu setze für jede -Komponente null ein.

Ausrechnen.

Setze die ermittelten Werte in die Funktion ein. Benutze die Komponentenschreibweise.

In Komponenten:

Addiere und berechne das Skalarprodukt .

mit

Das ist die Funktion nahe null. Sie ist viel einfacher strukturiert als die Ausgangsfunktion.