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Vektorprodukt in Komponentendarstellung

Vektorprodukt

Es gilt:

(1) steht orthogonal zu und zu .

(2), und bilden ein Rechtssystem.

(3)

(3) bedeutet geometrisch: ist gleich dem Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms.

Eine rechtshändige Orthonormalbasis hat die Basiselemente und .

Nach der Auflösung der Basis:

Das Ausmultiplizieren der Komponenten ist arbeitsaufwändig. Neun Terme mit jeweils vier Faktoren werden erzeugt. Die Einheitsvektoren werden kreuzmultipliziert wegen der Homogenität. Die Vorfaktoren können also nach vorne verschoben werden.

Gleiche Einheitsfaktoren sind erkennbar am gleichen Index. Sie haben die gleiche Dimension und stehen nicht senkrecht aufeinander.

Bei den verschiedenen Einheitsvektoren kommt es auf die Reihenfolge der Indizes an. Ergänze zuerst den fehlenden Einheitsvektor unterhalb des Kreuzprodukts und achte darauf, ob du die Indizes, beginnend mit dem Einheitsvektor , fortlaufend nach zwei und drei hochzählen kannst. Das ist dann zyklisch.

Ansonsten ist die Reihenfolge antizyklisch. Der fehlende Einheitsvektor erhält ein negatives Vorzeichen.

1) Multiplikation der ersten Komponente von mit allen anderen Komponenten von :

(gleiche Dimension)

(zyklisch)

(antizyklisch)

2) Multiplikation der zweiten Komponente von mit allen anderen Komponenten von :

(antizyklisch)

(gleiche Dimension)

(zyklisch)

3) Multiplikation der dritten Komponente von mit allen anderen Komponenten von :

(zyklisch)

(antizyklisch)

(gleiche Dimension)

Fasse die Terme zusammen. Drei Terme entfallen. Von den übrigen sechs Termen sind drei negativ.

Ordne die Terme nach den Dimensionen von .

Schreibe das Kreuzprodukt als Komponenten. Die Einheitsvektoren entfallen dadurch.

Rückblick: Das Vektorprodukt wird gebildet aus einer systematischen Skalarmultiplikation der betroffenen Komponenten der beiden Vektoren. Es entstehen neun Flächenstücke, davon sind drei Pseudoflächen (= gleiche Indizes). Von den verbleibenden sechs Flächenstücken werden drei subtrahiert, d.h. die Flächen werden verkleinert.

Ich stelle mir das so vor. Im ersten Quadranten befindet sich ein Rechteck von der Größe . Von seiner Fläche wird die Fläche eines hochkant stehenden Rechtecks subtrahiert.