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Vereinigung von Mengen (Vereinigungsmenge)

Das ist die Menge aller Objekte, die in mindestens einer beiden Menge A und B enthalten sind. Sind die Objekte in keiner der beiden Mengen enthalten, liegt keine Mengenvereinigung vor.

sprich: „A vereinigt B”

Das Vereinigungssymbol erinnert an einen Kessel, in der die Elemente reingeschüttet werden.

Mengen, die vereinigt werden, heißen Vereinigungsmengen. Aus zwei Mengen wird dann eine große Menge.

Vereinigungsmenge

Formal sieht das so aus (sprich: Die Menge A vereinigt mir der Menge B ist gleich der Menge aus dem Element x, das Element von A oder B ist):

Das Symbol der Vereinigung ist . Das sieht aus wie eine Schüssel. Da kommen also die Elemente rein.

Das ist eine Eigenschaftsbeschreibung der Menge. Vor der Pipe („Pfeife“) | steht eine Variable, hier x, die die Eigenschaften hat, wie sie nach der Pipe beschrieben werden, nämlich Element der Menge A oder (Symbol: ) der Menge B zu sein.

Es genügt bei der Vereinigungsmenge, dass das Element nur in einer der beiden Mengen vorhanden ist. Wenn es in beiden Mengen vorhanden war, macht das nichts. Wenn es in keiner der beiden Mengen vorlag, dann wird man es auch nicht in der Vereinigungsmenge finden.

Statt der Pipe | findet man in der Literatur auch den Doppelpunkt (:).

Das ist die gleiche Vereinigungsmenge wie oben mit der Pipe |. Ich finde sie nicht so gelungen.

Die Vereinigungsmenge ist eine spezielle Menge, eine Teilmenge, die durch „Aussonderung“ aus anderen Mengen entsteht, was unmittelbar zu dem Axiom des Aussonderungsschemas (Aus) führt.

Politisches Beispiel

Die Menge A wird vereinigt mit der Menge B, genau wie anno 1990 die BRD (Bundesrepublik Deutschland) mit der DDR (Deutsche Demokratische Republik).

(Quelle: Dr. Meierhofer)

Die heutige BRD ist entstanden als Vereinigungsmenge aus der Menge der (alten) BRD und der Menge der DDR.

Anderes Beispiel:

Diese beiden Mengen werden vereinigt.

Das ergibt die Vereinigungsmenge V. Wir können die doppelten Elemente ruhig streichen.

In der Vereinigungsmenge V sind die Elemente 1 und 3 doppelt. Sie zählen jeweils nur als ein Element, deshalb habe ich jeweils die Dublette gestrichen

Zwei Mengen seien folgendermaßen festgelegt:

Die Menge A soll aus reellen Zahlen bestehen. Sie befinden sich im geschlossenen Intervall 3 und 6, was so geschrieben wird:

Die Menge B soll aus den natürlichen Zahlen 5, 6 und 7 bestehen.

Die beiden Mengen A und B sollen vereinigt werden . Schreibt nun die beiden Mengen nebeneinander und setzt den Vereinigungsoperator dazwischen.

Das Axiom der Vereinigungsmengen (VER)

Zu jeder Menge A existiert eine Menge B, deren Elemente genau die „Elemente der Elemente“ von A sind.

Formal:

Für alle Mengen A gibt es mindestens eine Menge B mit der Eigenschaft, dass die Menge B vollständig in der Menge A aufgeht. Die beiden Mengen A und B verschmelzen miteinander. Zu den Elementen von A kommen noch die Elemente von B hinzu. Die Elemente von B werden die „Elemente der Elemente“ von A.

Es gibt eine (neue) Menge U, die die Elemente von B enthält und selber Element von A wird .

Bei der Formel geht man davon aus, dass es beliebig viele Mengen A gibt. Mit diesen Mengen A wird jeweils zumindest eine Menge B verschmolzen. Die Menge B wird Element von A. Das geht nur, wenn sich alle Elemente z der beteiligten Mengen schließlich in der Menge A „tummeln“, mit ihr vereinigt sind. Dabei ist es egal, ob manche gleiche Elemente dann doppelt auftreten. Sie dürfen eh nur als ein Element betrachtet werden.