• Startseite
• Inhalt
• Index

Vier binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln (BF) lauten:

Neue Schreibweise als Vektoren

Man kann mit diesen Formeln auch über die Vektorenschreibweise rechnen. Die Summanden werden mit ihrem Vorzeichen untereinander angeordnet. Bei der Berechnung der komplexen binomischen Formel mit dem Imaginärteil wirst du die Vorzüge von Vektoren bemerken.

Die binomischen Vektoren werden auf eine bestimmte Weise multipliziert (siehe unten), was ich mit dem Symbol ausdrücke. Das ist eine Raute. Sie verweist auf eine binomische Multiplikation.

Bei den binomischen Formeln werden die beiden Variablen und verknüpft. Sie werden systematisch miteinander multipliziert. Die Vorzeichen bleiben erstmal unberücksichtigt. In einer Tabelle sieht das so aus:

Erste binomische Formel

Man schreibt die Summanden untereinander in die Klammer und multipliziert binomisch.

Die oberen Komponenten und unteren Komponenten miteinander multiplizieren. Dann die Variablen und über Kreuz multiplizieren.

Zweite binomische Formel

Man schreibt die Summanden (mit Vorzeichen) untereinander in die Klammer und multipliziert binomisch.

Die oberen Komponenten und unteren Komponenten miteinander multiplizieren. Dann die Variablen und über Kreuz multiplizieren.

Dritte binomische Formel

Man schreibt die Summanden (mit Vorzeichen) untereinander in die Klammer und multipliziert binomisch.

Die oberen Komponenten und unteren Komponenten miteinander multiplizieren. Dann die Variablen und bzw. über Kreuz multiplizieren.

Der zweite Vektor wird zu null und fällt weg.

Komplexe binomische Formel

Man schreibt die Summanden (mit Vorzeichen) untereinander in die Klammer und multipliziert binomisch. Der Realteil steht oben, während der Imaginärteil mit dem unten steht.

Die oberen Komponenten und unteren Komponenten miteinander multiplizieren. Dann die Variablen und bzw. über Kreuz multiplizieren.

Achtung! Hier dreht das Quadrat von das Vorzeichen um, denn . Aus der zweiten Komponente mit dem Produkt wird deshalb .

Der zweite Vektor wird zu null und fällt weg. Bei der komplexen binomischen Formel entfällt der Imaginärteil. Sie unterscheidet sich von der dritten binomischen Formel nur durch das positive Vorzeichen.

Die komplexen Zahlen werden mit dem Symbol ausgedrückt. Der Doppelstrich beim z verweist auf ihre Vektoreigenschaft. Hinter diesem -Symbol versteckt sich folgender Ausdruck:

Der -Term ist der Realteil, während der Term mit dem der Imaginärteil ist.

Eine negierte komplexe Zahl (konjugiert komplex) unterscheidet sich nur durch das Vorzeichen beim imaginären Term. Sie wird gekennzeichnet durch den sternchenförmigen Malpunkt oben rechts.

Hier siehst du nun ein Minuszeichen vor .

Die komplexe binomische Formel kann man verkürzt so schreiben:

Sie wird benutzt, um den Nenner von komplexen Brüchen reell zu machen, damit also unter dem Bruchstrich nur noch reelle Zahlen stehen. Dazu erweitert man den Bruch mit der negierten komplexen Zahl vom Nenner und rechnet das Binom aus. Man braucht nur die beiden Zahlen des Binoms zu quadrieren und sie dann summieren. Das bleibt unberücksichtigt.

Beispiel

Erweitere mit und quadriere die beiden Zahlen und . Anschließend summiere die beiden quadratischen Produkte .

Jetzt weißt du, wozu die komplexe binomische Formel dient.