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Zerlegung einer Menge

In jeder Zerlegungsmenge gibt es auch Untermengen , die über eine bestimmte gleichwertige Beziehung (Äquivalenzrelation) gebildet werden. Sie haben folgende Eigenschaften:

In jeder Zerlegungsmenge befinden sich noch andere Mengen .

Diese anderen Mengen sind immer mit Elementen gefüllt.

Die Vereinigung dieser anderen Mengen ergibt die Menge .

Zwischen den anderen Mengen (siehe die Indizes und) gibt es keine Überschneidungen. Sie sind disjunkt.

Beispiel

Die Menge wird zerlegt in „bunte“ Zerlegungsmenge:

Ihre Untermengen sind:

Gesucht wird die Äquivalenzrelation innerhalb von (Quotientenmenge)

Innerhalb der Untermengen werden dazu neue Beziehungen (Relationen) gebildet und zwar werden ihre jeweiligen Elemente nach bestimmten Regeln vertauscht.

Ergebnis:

Wie macht man das?

Vorgehensweise:

Äquivalent ist definiert als:

Das bedeutet, die Elemente in den einzelnen Untermengen werden systematisch miteinander kombiniert und vertauscht. Zwischen den Elementen wird ein Komma geschrieben.

Wie man das macht, hängt von der Anzahl der Elemente ab:

Bei nur einem Element in der Untermenge liegt eine selbstbezogene (reflexive) Beziehung vor. Die einzelnen Elemente werden nur wiederholt.

Bei zwei Elementen werden diese nur vertauscht. Hier handelt es sich um eine symmetrische Beziehung.

Bei drei Elementen werden diese jeweils zu Paaren kombiniert („verheiratet“) und dann vertauscht. Hier handelt sich um eine überspringende (transitive) Beziehung:

sowie vertauscht

Das kannst du aus der „Kette“ leicht selbst nachvollziehen.

Statt der Variablen , und liegen die folgenden Elemente vor:

A) Setze zwischen die Elemente , und einen Pfeil. Nun hast du die erste überspringende (transitive) Beziehung.

Das ergibt:

Durch Umkehrung der Pfeile erhältst du die zweite Beziehung.

Das ergibt:

B) Nun vertauscht du die beiden letzten Elemente und und setzt die Pfeile.

Das ergibt:

Das ergibt:

C) Nun vertauscht du die beiden ersten Elemente und und setzt die Pfeile.

Das ergibt:

Das ergibt:

Dieses mühsame Beweisen einer springenden (transitiven) Beziehung kannst du dir in Zukunft sparen. Bei drei beliebig vertauschbaren Elementen liegt eine solche Beziehung immer vor.

Das Ergebnis wird als geschrieben.