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Ableitungsmatrix (Jacobi-Matrix)

Die Ableitungsmatrix ist ein Kollektor für die partiellen Ableitungen aller abhängigen Variablen einer Funktion. Sie wird verwendet, um herauszufinden, wie sich eine Funktion in verschiedenen Richtungen ändert.

Jede Zeile steht für eine partielle Ableitung. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit enthält sie die ersten Ableitungen der Funktion  bezüglich der Standardbasen.

Diese Matrix gibt wichtige Informationen über die Veränderung einer Funktion und zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen.

Struktur der Ableitungsmatrix

im Spaltenintervall und im Zeilenintervall und Punkt .

Beispiel

Der folgende Vektor enthält zwei Funktionen.

Die erste Funktion hat den Index . Das entspricht der Komponente im Vektor. Darunter befindet sich eine weitere Funktion mit dem Index , was so symbolisiert wird:

Die Funktionen haben verschiedene Input-Variablen, die mit dem Index durchnummeriert werden. Sie werden abgekürzt durch (Punkt) in der Formel dargestellt.

Dem Index entspricht der Input-Variable , dem zweiten Index wird zugeordnet und der letzte Index ist die Variable .

In der Ableitungsmatrix werden die Ableitungen , und der beiden Funktionen des Vektors gesammelt. Aus einem Vektor entwickeln sich dann drei Spaltenvektoren einer Matrix.

Gegebene Funktion:

im Intervall

Ableitungsmatrix:

im Komponentenintervall der Funktionen und Spaltenintervall des Punktes als Inputvariablen.

Abkürzungen:

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

Das ist das Ziel der Aufgabe:

Die beiden Funktionen werden nach den Variablen x, und partiell abgeleitet.

a) Ableitungen der ersten Funktion

Ableitung nach .

Einsetzen in die Matrix.

Ableitung nach .

Einsetzen in die Matrix.

Ableitung nach .

Hier entfällt beim dritten Term nur das z. Dahinter steht eine Konstante bezüglich der Ableitung nach .

Einsetzen in die Matrix.

b) Ableitungen der zweiten Funktion

Ableitung nach .

Ableitung nach .

Ableitung nach .

Nun werden alle Ableitungen in einer Matrix zusammengefasst.

Das ist die Ableitungsmatrix der Funktion . Sie enthält sechs Unterfunktionen.