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Algebraische Vielfachheit bei Eigenvektoren

Definition

Ist ein Eigenwert λ von A eine k-fache Nullstelle von , so heißt k algebraische Vielfachheit von λ.

Die Menge aller Eigenvektoren von A bildet einen linearen Unterraum von oder . Dessen Dimension wird geometrische Vielfachheit von λ genannt.

Beispiel

ist Eigenwert der algebraischen Vielfachheit = 2.

und sind Lösungen, geometrische Vielfachheit = 2.

Beispiel

und sind beides Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit = 1.

Eigenvektor zu

mit geometrische Vielfachheit = 1.

(Lösung des Gleichungssystems ergibt für und ist unabhängig von , daher kann es beliebig gewählt werden.)

Eigenvektor zu

mit geometrische Vielfachheit = 1.

Beispiel

mit algebraische Vielfachheit = 2

ist eindimensionaler Unterraum, geometrische Vielfachheit = 1.

Der Fall symmetrischer Matrizen

A sei eine Matrix vom Typ mit reellen Elementen . A heißt symmetrisch, wenn

Beispiel

Satz

Eine reelle symmetrische Matrix hat folgende Eigenschaften:

- Alle Eigenwerte von A sind reell

- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal

- Algebraische und geometrische Vielfachheit sind für jeden Eigenwert gleich

Beweis i)

ist reell, . Sei x Eigenvektor und λ Eigenwert.

Division durch

Beweis ii)

Es seien x₁, x₂ Eigenvektoren zu den Eigenwerten

,

da

x₁ und x₂ sind orthogonal

Folgerung 1)

Ist A reell und symmetrisch und sind alle n Eigenwerte voneinander verschieden, so bilden die n Eigenvektoren eine orthogonale Basis des . Ist λ ein k-facher Eigenwert (algebraische Vielfachheit ist k), so hat der zugehörige Eigenunterraum ebenfalls die Dimension k. Die entsprechende Basis kann man mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren.

Folgerung 2)

Ist A reell und symmetrisch, so kann man stets Eigenvektoren finden, so dass eine orthogonale Basis des bilden.

Beispiel

reell und symmetrisch

Eigenwerte:

durch Polynomdivision:

→ sind voneinander verschieden

Eigenvektor von

:

Dritte Zeile ist linear abhängig von der ersten.

Aus erster Zeile folgt:

Eingesetzt in dritte Zeile:

ist Eigenvektor

Eigenvektor von

,

Eigenvektor von

Wir normieren die Eigenvektoren (Normalvektor → Betrag = 1)

Wir fassen die normierten Eigenvektoren in einer Matrix C zusammen: