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Alt: Separierbare DGL

Bei einer separierbaren DGL gibt es zwei Funktionen, die jeweils von und abhängen.

Die spezielle Lösung zum Anfangswert wird bestimmt durch

Beweis über die Ableitung.

Term vor dem Gleichheitszeichen: Das Integral entfällt. Die Kettenregel wird benutzt.

Term hinter dem Gleichheitszeichen: Das Integral entfällt.

Die Gleichung wird zusammengesetzt.

Nach der Umstellung:

Die Ableitung ist richtig. Damit ist die Bedingung erfüllt.

Numerische Lösung per Euler-Verfahren

DGL:

Vereinfacht:

Startwerte:

Wenn und , dann ist .

Erster Schritt :

Die Zahl wird in die Funktion eingesetzt, was minus eins ergibt. Das ist nur ein Schrittzähler.

Schritt :

Ermittle Lösung von , , , per Iteration.

Beispiel

Startbedingungen

,

Wähle:

Schritt :

Schritt :

Die Funktion benutzen. Das beinhaltet nur das Inkrement und wird nicht mitgerechnet.

Formel:

Nach dem Ausrechnen der Differenz wird der Laufzähler um eins erhöht, siehe den Index bei . Das bedeutet eine fortlaufende Addition des Inkrements , was beim nächsten Schritt weiter verarbeitet wird.

Beachte das (mit Index) vor dem Gleichheitszeichen und danach. Sie sind gleich. Die Klammer hinter dem verweist auf das jeweilige Inkrement oder als Zahlen , bei denen der Wert des erreicht wurde.

Schritt :

Schritt :

Beim Inkrement wurde das mit dem Index zur Weiterberechnung benutzt. Nachdem die Differenz berechnet wurde, erhöhte sich der Index um . Sie dient als Berechnungsgrundlage für die nächste „Runde“.

Schritt :

Schritt :

Setze den Input von in die DGL ein. Raus kommt die Funktion