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Separierbare DGL

Barometrische Höhenformel

Wie hängt der Luftdruck in der Erdatmosphäre von der Höhe ab?

Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Temperatur konstant bleibt, = const.

Die Dichte ändert sich mit dem Druck.

Eingeschlossenes Gas:

Die Masse soll konstant sein.

„Druck mal Volumen“ ist konstant.

const.

Daraus folgt nach Ersetzen des Volumens:

const.

Der Druck ist der Dichte proportional.

Daraus folgt auch:

Die Konstanten betragen auf Meereshöhe:

(bei )

Für die Druckänderungen gilt der Gradient von :

Die Druckveränderung wirkt hier nur in der senkrechten Richtung (-Komponnente) und ist gleich der Dichte mal der Erdbeschleunigung. Das bedeutet, nur die dritte Komponente des Gradienten spielt eine Rolle.

Gleiches gilt für die Erdbeschleunigung.

Nur die Komponente drei hat eine Relevanz. . Sie kann auch ohne den Index benutzt werden.

Gleichung des Gradienten:

Die Dichte durch die umgestellte Formel der Proportionalitäten ersetzen.

Das ist eine DGL mit der Variablen und ihrer Ableitung.

Sie wird gelöst durch Separation gleicher Variablen.

Die Variable mit dem Druck wird auf die linke Seite der Gleichung gebracht. Die Konstanten mit dem Index null bleiben an Ort und Stelle.

Die DGL wird gelöst, indem man auf beiden Seiten integriert. Auf der linken Seite integrierst du nach und auf der rechten Seite nach . Das kannst du leicht dem Gradienten entnehmen. Er verschwindet beim Setzen der Integralzeichen.

Muster:

Integration der Gleichung mit den Integrationsgrenzen.

Es beginnt mit dem Basisdruck , der sich bis zum unbegrenzten Druck steigert. Die Senkrechte beginnt bei null und steigert sich unbegrenzt.

Berechnung des Integrals.

Regel:

Ergebnis:

Nach Einsetzen der Integrationsgrenzen:

Anwenden des Logarithmusgesetzes:

Das ergibt:

Vernichtung des Logarithmus durch :

Das ergibt:

Nach Umformung ergibt sich die barometrische Höhenformel:

Der Druck fällt exponentiell mit der Höhe ab.

Die Umkehrung des Exponenten führt zur Skalenhöhe (charakteristische Längenskala). Durch die Umkehrung des Bruchs steht die Skalenhöhe im Nenner beim Exponenten der -Funktion.

Zahlen ausrechnen und Einheiten kürzen.

Bei führt die barometrische Höhenformel zu .

Solche exponentiellen Abhängigkeiten treten in der Physik oft auf. Für sie gibt es immer eine solche charakteristische Skala. Der Vergleich anderer Größen des Problems mit der charakteristischen Skala ist nützlich, um die Bedeutung verschiedener Effekte für das jeweilige Problem abzuschätzen. Z. B. können wir sofort sagen, dass sich im Hörsaal mit Höhe der Luftdruck zur Decke hin kaum ändert, da .

Beispiel

Löse die DGL nach dem Separationsverfahren.

Gleiche Variablen auf eine Seite bringen, hier .

Beide Seiten integrieren. Das linke Integral erhält die Integrationsvariable und das rechte Integralzeichen die Integrationsvariable , was sich aus dem Symbol ergibt. Es wird durch die Zahl ersetzt.

Mit Integrationsgrenzen (Start – Ende):

Ergebnis:

Regel:

Grenzen einsetzen.

Umstellen nach

Nach auflösen und ausrechnen.

Kürzen.

Nach umformen.

Wurzel ziehen und Ergebnis:

Test:

Es kommt darauf an, die Aufgabe nachzubilden. Das Ergebnis der DGL soll differenziert werden und dann so umgeformt werden, dass die gestellte Aufgabe herauskommt. Es ist wie beim Ostereiersuchen. In dem Ableitungswust muss das Ei gefunden werden, konkret das .

Anfangswert bilden.

Umstellen des Ergebnisses. Dieser Monsterausdruck (linker Teil) muss in der Ableitung identifiziert werden.

Ableitung des Ergebnisses.

Kürzen.

Beispiel

Löse die DGL nach dem Separationsverfahren.

Nach gleichen Variablen ordnen.

Integrieren.

Integrationsregeln benutzen.

Regel:

Regel:

Nach der Integration:

Einsetzen der Grenzen.

Auflösen nach nach Division durch .

Quadrieren und Ergebnis:

Test:

Ableitungsregeln benutzen.

Kettenregel:

Äußere Ableitung:

Innere Ableitung:

(Vorfaktor berücksichtigen.)

Kürzen.

Das errechnete Ergebnis in der Ableitungsgleichung suchen. Das quadrierte Ergebnis liegt vor, daher muss es radiziert werden.

Vergleiche mit der DGL der Aufgabe.

Stimmt!