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Lösung einer nichtlinearen DGL 1. Ordnung (Separationsverfahren)

Aufgabe

Mit der Anfangsbedingung

Das bedeutet, eine Funktion wird auf gesetzt und ihre -Variablen erhalten den Wert .

Bei einer nichtlinearen DGL werden die Variablen und getrennt. Das geschieht durch algebraische Umformungen.

Den -Term auf die andere Seite bringen.

Den Nenner auf die andere Seite bringen (durch Multiplikation). Ausmultiplizieren der Klammer. Die Potenzen werden addiert.

Umschreiben der Ableitung in einen Bruch .

Die Variablen und wieder trennen, also mit (im Nenner) multiplizieren.

Beide Seiten integrieren. Schreibe die und bei den Ableitungsvariablen bzw. oben links an das Integralzeichen. Die Symbole selber verschwinden dabei.

Die elementaren Integrale integrieren. Ergebnis:

Die Gleichung nach auflösen. Mit (im Nenner) multiplizieren. Dann die Kubikwurzel ziehen und die Klammer ausrechnen. Die Integrationskonstante c gehört auch unter das Wurzelzeichen. Sie mutiert jetzt zu einer Variablen.

Über die Anfangsbedingung die Variable c bestimmen. Die -Variablen werden auf gesetzt.

Ausrechnen der Wurzel.

Die Gleichung mit potenzieren und ausrechnen.

Nach auflösen mittels Division durch .

Diese Variable in die Gleichung einsetzen.

Die Lösung der DGL lautet: