Aufgabe 3: Linearisierung

Vergleiche den Differenzenquotienten und das Differenzial für [image] , wenn [image] sich von [image] auf [image]ändert.

 

[image]

 

[image]

 

Der grobe Differenzenquotient [image] der beiden Funktionen ist:

 

[image]

 

Die Schrittweite ist [image].

 

Umstellen nach [image] ergibt:

 

[image]

 

Nun wird die genaue Steigung berechnet.

 

Die Ableitung der Funktion lautet: [image]

 

Die Steigung an der Stelle [image] beträgt:

 

[image]

 

Der feine Differenzialquotient ist [image]. Umstellen nach [image] ergibt:

 

[image]

 

Es gibt also einen Unterschied zwischen der Berechnung über den Differenzenquotienten [image] und dem Differenzial [image].

 

[image]

 

[image]

 

Der Differenzenquotient weicht um 2.5 % vom exakt berechneten Differenzial ab.