Lineare Näherung einer Funktion

Bei einem Differenzial handelt es sich um eine infinitesimal kleine Änderung des Höhenunterschieds bei der [image]-Achse, die durch einen ebenso infinitesimalen Schritt auf der [image]-Achse macht. Das nennt man Steigung. Der Vorgang heißt ableiten einer Funktion.

 

1) Ausgangslage:

 

[image]

 

2) Der [image]-Wert liegt bei [image].

 

Schritt in x-Richtung:

 

[image]

 

Der [image]-Wert hat sich erhöht und liegt jetzt bei [image].

 

3) Wachstumsrate:

[image]

 

Der [image]-Höhenunterschied bezogen auf die [image]-Änderung drückt die Wachstumsrate aus.

 

Man könnte die Wachstumsrate in Prozent angeben wie auf dem bekannten Verkehrsschild. Es weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12-prozentige Steigung hat.

[image]

Eine Angabe von [image] Steigung bedeutet, dass die Höhe um [image] zunimmt. und zwar bezogen auf [image] in waagerechter Richtung. Das entspricht dem Steigungsdreieck.

[image]

Steigungsdreieck

Die Berechnung der Steigung sieht so aus:

[image]

Ich benutze für die Formel der Wachstumsrate die [image]-Notation von oben.

[image]

Anstelle des Begriffs Wachstumsrate denke dir Steigung. Wenn ich die Breitenänderung infinitesimal klein setze, benutze ich das Symbol [image], das die Abkürzung für lateinisch limes ist und Grenze bedeutet. Wir befinden uns also im Grenzbereich der Zahlen im Unendlichen, nur dass sie in diesem Fall nahe an Null heranpirschen.

[image]

 

Hier siehst du vorne das Limes-Symbol und darin den Bruch wie bei der Formel für die Wachstumsrate. Das Ergebnis ist das Differenzial [image], was die Steigung in einem beliebigen Punkt auf der[image]-Achse darstellt.

 

Durch einfache algebraische Umstellung der Gleichung kann man den [image]-Wert einer Funktion über das Differenzial [image] errechnen. Ich lasse bei der obigen Gleichung das Limes-Symbol weg.

 

[image]

 

Ich stelle nun die Gleichung um. Das Inkrement [image] auf die andere Seite bringen.

 

[image]

 

Die Funktion [image]auf die andere Seite bringen. Nach der Umformung erhält man die lineare Näherung.

 

[image]

 

Beachte das Ungefähr-Gleich-Symbol [image].

 

Über diese lineare Näherung kann man den nächsten [image]-Wert berechnen, wenn man den Schritt [image] auf der [image]-Achse sowie die Steigung [image] der Funktion [image] beim Startpunkt [image] kennt.

 

Die Näherungsgleichung lautet:

 

[image]

 

Die Schrittweite [image] ist die Differenz des nächsten [image]-Wertes von einem vorgegebenen Startpunkt [image].

 

Beispiel

 

Gegeben ist die Wurzelfunktion:

 

[image]

 

Aufgabe: Berechne die lineare Näherung bei [image].

 

Dazu braucht man die Ableitung der Wurzelfunktion.

 

Formale Ableitungsregel: [image]

 

Berechnete Ableitung: [image]

 

Ich zeige dir, welches Ergebnis bei der linearen Annäherung herauskommt. Dazu brauchen wir zwei Funktionswerte.

 

Der Funktionswert [image] wird durch Einsetzen von [image] in die Wurzelgleichung leicht errechnet.

 

[image]

 

Der Wert der Ableitung wird ebenfalls durch Einsetzen von [image] errechnet.

 

[image]

 

Die beiden Zahlenwerte werden in die Formel für die lineare Näherung eingesetzt. Der Parameter [image] wird durch die Differenz [image] ausgedrückt. Die infinitesimale Steigung [image] (das Differenzial) schreibe ich davor.

 

[image]

 

Die errechneten Zahlen für [image] und [image] sowie [image] einsetzen.

 

[image]

 

Mit dieser Funktion [image] wird also die Wurzelfunktion [image] aus der Aufgabe um die Stelle [image] am besten genähert.

 

Wie verhält sich die lineare Näherung bei [image]? Ich setze diesen Wert in die Näherungsgleichung ein.

 

[image]

 

Der genaue Wert liegt bei [image]. Hier habe ich [image] in die Wurzelgleichung der Aufgabe eingesetzt. Die lineare Näherung ist relativ gut.

 

Bürgerliche Darstellung

 

[image]

 

[image]

 

Alt:

 

[image]

 

Nach der Umformung:

 

[image]