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Linearisierung einer DGL

Linearisierung kann auch bei Differenzialgleichungen (DGL) nützlich sein. Dadurch wird ihre Lösung vereinfacht. Die DGL wird dabei um ihre Ruhelage bzw. den Arbeitspunkt linearisiert.

Beispiel

Linearisierung der Bewegungsgleichung eines Pendels:

Der Aufbau des Pendels befindet sich an einer Stelle mit dem Ortsfaktor , der häufig auch Fallbeschleunigung genannt wird. Wenn der Vorgang auf der Erde stattfindet, heißt er auch Erdbeschleunigung  mit  .

Die Länge des Fadens ist .

Hier kann  für kleine Winkel , also um die Stelle  (Ruhelage) durch die Funktion genähert werden.

Benutze die Gleichung für die lineare Näherung.

Setze für die Funktionen den Sinus von ein. Der Winkel ist zwar zeitabhängig, befindet sich aber momentan in der Ruhelage .

Das Differenzial ist die Ableitung des Sinus nach dem Winkel . Die Ableitung von Sinus ergibt Cosinus.

Jetzt für den Winkel beim Sinus und Cosinus einsetzen.

Rechnungen: und

Die DGL vereinfacht sich nach dem Einsetzen von dann zu:

Die lineare Näherung für die Bewegungsgleichung eines Pendels ist:

Der Sinus ist verschwunden, stattdessen reicht der Winkel für die Bewegungsgleichung aus.

Bürgerliche Darstellung