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Die Tangentialebene

Bei eindimensionalen Funktionen kann man bei einer gegebenen Stelle die Tangente an die Funktion anlegen. Das führt zur Tangentengleichung :

Das Differenzial entspricht der Steigung der Tangente. Hier gibt es nur eine abhängige Variable.

Bei zweidimensionalen Funktionen kommen zwei Inputvariablen ins Spiel, die Variablen und , die sich in einem dreidimensionalen Raum bewegen. Um die Steigung anzugeben, reicht eine Tangente nichts aus. Eine Tangentialebene muss jeweils die Steigungen für die - und -Komponente bestimmen. Das geschieht übersichtlich in der Vektorschreibweise.

Die Tangentengleichung ist abhängig von und an den Stellen und , den Startpositionen der Startfunktion . Hinzu kommen die jeweiligen -Steigungen und -Steigungen an diesen Positionen. Statt eines einzelnen m wie bei der eindimensionalen Tangentengleichung werden hier zwei Differenziale gebraucht.

Der Vektor kann als Summe der multiplizierten Komponenten umgeformt werden.

Diese Gleichung stellt eine typische Ebenengleichung dar. Das ist eine Linearisierung einer Ebene. Diese stellt stets genau das Taylorpolynom bis zum linearen Glied dar.

Kompakte Schreibweise der Ebenengleichung:

Es wird hier unausgesprochen vorausgesetzt, dass die Funktion von und abhängt.

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