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Näherungsableitung der Koeffizienten (Taylorreihen)

Komplizierte Funktionen können durch möglichst einfache Funktionen angenähert (approximiert) werden und zwar über ein Polynom.

Das Restglied gibt den Näherungsfehler an. Es wird im Folgenden vernachlässigt.

Bei der Näherungsableitung wird eine gegebene Funktion über fortgesetzte höhere Ableitungen der Funktion und geeignete Vorfaktoren bestimmt.

Die Vorfaktoren sind die Fakultäten des Ableitungsgrades

(Die eckigen Klammern verweisen auf den Laufindex . Der Ausdruck wird also summiert, daher der Namen „Reihe“.)

Laufindex (= Ableitungsgrad) im Intervall .

(Der Exponent soll die höchste Ableitung darstellen.)

Näherungsreihe

Mit den Koeffizienten:

Eigenschaften

Wir können Näherungsableitungen (Taylorreihen)

• gliedweise addieren

• gliedweise differenzieren

• gliedweise integrieren

• multiplizieren

• dividieren

• substituieren

Herleitung der Koeffizientenformel

Nimm ein Polynom und bilde nacheinander Ableitungen mit immer höherem Grad. Setze dann ein.

Keine Ableitung:

Nach dem Einsetzen von bleibt der Koeffizient übrig.

Erste Ableitung

(Konstante Terme entfallen bei der Ableitung, hier . Die Exponenten werden vor die Koeffizienten geschrieben und dann oben beim um erniedrigt.)

Ableitungsregel:

Nach dem Einsetzen von bleibt der Koeffizient übrig.

Zweite Ableitung

(Konstante Terme entfallen bei der Ableitung, hier . Die Exponenten werden mit den bereits vorhandenen Koeffizienten multipliziert.)

Nach dem Einsetzen von bleibt der Koeffizient übrig.

Letzte Ableitung

(Beim letzten Term kannst du die Regel des Ableitungsspiels erkennen.

Erste Ableitung des Polynoms bilden.

Das sieht wie bei der bekannten Ableitungsregel aus.

Bei der zweiten Ableitung wird der alte Exponent vor das geschrieben und der Exponent oben beim um erniedrigt.

Bei der dritten Ableitung wird der alte Exponent vor das geschrieben und der Exponent oben beim um erniedrigt.

Muster:

Bei jeder Ableitung wird der alte Exponent vor das geschrieben und der Exponent oben beim um erniedrigt.

Diese Multiplikation von absteigenden Faktoren heißt Fakultät und wird mit symbolisiert.

Die Potenz beim wird stetig um kleiner und zwar n Mal bis auf .

Bei der letzten Ableitung und Einsetzen von bleibt nur noch das Produkt aus der Fakultät und dem letzten Koeffizienten übrig, denn alle Terme mit entfallen.

Der Index des Koeffizienten entspricht dem Ableitungsgrad.

Nach dem Umstellen der Gleichung und Umbenennen des Index folgt:

Beispiel

Die Ableitungen werden um den Vorfaktor bereinigt. Er entspricht der Fakultät des Ableitungsgrads.

Zweite Ableitung , also Fakultät

Dritte Ableitung , also Fakultät

Vierte Ableitung , also Fakultät

Beispiel

Näherungsableitung von an der Stelle .

Formel

Funktion

Die Funktion wird über vier Koeffizienten approximiert.

Näherungsreihe:

Nullter Koeffizient

Die Zahl in die Funktion einsetzen.

Erster Koeffizient

Der erste Koeffizient entspricht der ersten Ableitung der Funktion.

Ableitungsregel:

(Den Ausdruck hinter dem Logarithmus in den Nenner schreiben.)

In die Ableitungsfunktion wird eingesetzt, und fertig ist der erste Koeffizient.

Zweiter Koeffizient

Der zweite Koeffizient wird gebildet aus der Ableitung des ersten Koeffizienten .

Ergebnis:

Ableitungsregel:

(Den Nenner quadrieren und den Bruch negativ machen.)

Außerdem wird der Vorfaktor ergänzt und in die Ableitungsfunktion eingesetzt. Fertig ist der zweite Koeffizient.

Dritter Koeffizient

Der dritte Koeffizient wird gebildet aus der Ableitung des zweiten Koeffizienten .

Ergebnis:

Ableitungsregel:

(Den Exponenten in den Zähler schreiben und im Nenner um eins erhöhen. Minus mal Minus ergibt plus.)

Außerdem wird der Vorfaktor ergänzt und in die Ableitungsfunktion eingesetzt. Fertig ist der dritte Koeffizient.

Der Vorfaktor entspricht der Fakultät des Ableitungsgrads:

Vierter Koeffizient

Der vierte Koeffizient wird gebildet aus der Ableitung des dritten Koeffizienten .

Ergebnis:

Ableitungsregel:

(Den Exponenten mit der vorhandenen Zahl im Zähler multiplizieren. Im Nenner den Exponenten um eins erhöhen.)

Außerdem wird der Vorfaktor ergänzt und in die Ableitungsfunktion eingesetzt. Fertig ist der dritte Koeffizient.

Der Vorfaktor entspricht der Fakultät des Ableitungsgrads:

Resultat:

In die Näherungsreihe werden die eben ermittelten Koeffizienten eingesetzt.

Mit den errechneten Koeffizienten anfüllen.

Ergebnis der Ableitungsannäherung:

Beispiel

Näherungsableitung von an der Stelle .

Näherungsreihe

Die Koeffizienten bestehen aus den Vorfaktoren und den Ableitungen.

Die Vorfaktoren ergeben sich aus dem Kehrwert der Fakultäten der Indizes.

Vorfaktor:

Die Ableitung der -Funktion ist die -Funktion selbst. Damit hat man schon alle Ableitungen.

Koeffizient = Vorfaktor mal Ableitung

Näherungsreihe

Vorfaktoren und Ableitungen bilden.

Werte einsetzen.

Beispiel

Wir erhalten die Näherungsreihe von   durch Multiplizieren der Näherungsreihe von  mit der Näherungsreihe von  an der Stelle .

Ausmultiplizieren.

Beispiel

Die Näherungsreihe erhalten wir durch Substitution von in die Näherungsreihe an der Stelle .

Substitution.

Potenzgesetz beachten . Negatives Vorzeichen bleiben bei ungeraden Exponenten erhalten. Ausrechnen.

Beispiel

Berechne die Näherungsreihe von an der Stelle .

Koeffizienten ausrechnen.

Vorfaktoren und Ableitungen bilden

Werte ins Polynom einsetzen.

Die Sinusreihe ist ungerade.

Beispiel

Bestimme die Näherungsreihe für die Funktion

Man nimmt die Sinusreihe als Vorbild und quadriert sie.

Gliedweise ausmultiplizieren.

Den nächsten Term ausmultiplizieren.

Den nächsten Term ausmultiplizieren.

Das reicht. Jetzt die Terme addieren.

Gleiche Terme zusammenfassen.

Die Fakultäten mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Beispiel

Berechne mittels der Näherungsreihe mit drei Koeffizienten an der Stelle .

Koeffizienten (Vorfaktor mal Ableitung)

(innere Ableitung -1)

(innere Ableitung -1. Kürzen.)

(innere Ableitung -1. Kürzen.)

Näherungsreihe als Polynom