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Restfunktion

Um eine gute Näherung zu erhalten, muss der Funktionswert einer genäherten Funktion  an der Stelle  auf jeden Fall dem exakten Funktionswert von  an dieser Stelle entsprechen. Es muss also gelten:

Die genäherte Funktion hat die Gleichung:

Der Koeffizient (Steigung) entspricht dem Differenzial in der Formel für die lineare Näherung einer Funktion. Es gibt also einen bestimmten Funktionswert bei , auf den ein bestimmter Zuwachs addiert wird.

Das Ziel für die beste lineare Approximation ist, diejenige Steigung  zu finden, die sich möglichst gut an die Funktion  anschmiegt.

Mit anderen Worten: Die Graphen von f und g sollten in der Nähe von  nicht weit auseinander liegen, d.h. die Differenz zwischen  (exakt) und  (genähert) sollte möglichst klein sein. Diese Differenz wird als Restfunktion beschrieben werden.

Durch Einsetzen der obigen Funktionsgleichung von  ergibt sich:

Beachte den Vorzeichenwechsel bei .

Das Verhalten der Restfunktion  soll für den Grenzfall  betrachtet werden. Dazu wird der Limes gebraucht.

Diese Gleichung kann man als Differenzenquotienten schreiben, wo im Zähler eine Differenz für das steht und im Nenner eine Differenz für .

Formal:

Berechnet:

Den Bruch habe ich in zwei Teile getrennt, den vorderen Teil mit dem Limes und den hinteren Teil mit der Steigung m. Dann konnte ich den hinteren Teil kürzen.

Fazit: Der Wert der Restfunktion muss so klein werden, dass nur noch die Steigung -m übrigbleibt. Das passiert, wenn die - und -Unterschiede verschwinden, beobachte dazu den vorderen Term .

Die Steigung ist also das Gütekriterium, wie gut sich eine genäherte Funktion an eine beliebige Funktion anschmiegt.