Aussonderungsprinzip

Mathematische Aussagen manifestieren sich in Formeln, was sattsam aus der Schule bekannt ist. Nach der Pipe sind also mehr oder weniger komplexe Formeln zu erwarten.

 

„Die Elemente einer Menge brauchen weder konkret noch real zu sein. Auch abstrakte oder imaginäre Objekte wie Zahlen, Einhörner, oder der Stein der Weisen können Elemente einer Menge sein. Da Mengen als Ganzheiten betrachtet werden, können die Elemente einer Menge können selbst Mengen sein. Die Bundesliga z.B. ist eine Menge von Elementen, die selbst Mengen sind, die Bundesligamannschaften, die ihrerseits Mengen von Individuen, den einzelnen Spielern, sind. Mengen können aus endlich oder unendlich vielen Elementen bestehen. Die Menge der Seminarteilnehmer ist endlich, die Menge der natürlichen Zahlen unendlich.“ [Wag97, Grundkurs 2, Kap. 5]

 

Bei der Aussage „Mengen können selbst Mengen sein“ muss man vorsichtig sein, denn die Aussage „die Menge aller Mengen“ führt zu einem logischen Chaos und hatte zu einem Sturm der Entrüstung in der frühen Mathematikgeschichte geführt. Die Wogen sind nun geglättet in der axiomatischen Mengenlehre durch das Aussonderungsprinzip. Danach muss es zu jeder Eigenschaft E und zu jeder Menge X eine Menge Y geben, für die gilt:

 

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Hier wird die Menge Y mit den Elementen z nicht aus sich selbst gebildet. Vielmehr entstand sie aus der Aussonderung von Elementen aus der Menge X, die bestimmte Eigenschaften haben. Elemente der Menge X werden separiert und zu einer neuen Menge mit dem neuen Namen Y zusammengefasst.