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Auswahlaxiom (AC)

Auswahlaxiom (Definition)

„Ist eine Menge, deren Elemente nichtleer und paarweise disjunkt sind, so existiert eine Menge , die mit jedem Element von genau ein Element gemeinsam hat.“ [Dei 2002, S. ]

(Teilweise umstrittenes Axiom)

Ist A eine Menge, deren (Mengen-)Elemente nicht leer und paarweise disjunkt sind, so existiert eine Menge B, die mit jedem Element von A genau ein Element gemeinsam hat.

Ist A eine Menge gefüllter Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet („ein Element von B auswählt“).

Alle Mengen B befinden sich in der Menge A, wie dies vorne beim Allquantor ausgedrückt wird. Die Auswahlfunktion heißt . Sie wird auf die Elemente der Menge B angewandt, deshalb steht dort . Die Auswahlfunktion „beschäftigt“ sich also nur mit den Mengen B. Aus ihnen wird irgendein Element ausgewählt. Die Funktion wählt aus den vorhandenen Mengen B bestimmte Elemente aus. Das Ganze ist ziemlich einfach wie ihr an einem Beispiel bemerken werdet.

Beispiel

Aus den drei Mengen in der Menge A sollen bestimmte Elemente ausgewählt werden. Die einzelnen Mengen sind: {0, 2}, {1, 2, 3, 4}, {5}.

A= {{0, 1}, {1,2,3,4}, {5}}

Die Menge A besteht aus drei Mengen mit den in den geschweiften Klammern angegebenen Elementen. Nun werde ich bestimmte Elemente aus den Mengen auswählen.

Meine Auswahlfunktion soll so lauten:

Die 0 gefällt mir, deshalb wähle ich sie aus der ersten Menge {0, 2} aus. Die 2 gefällt mir bei der zweiten Menge {1, 2, 3, 4, 5}. Bei der letzten Menge bleibt mir nichts anderes übrig als die 5 auszuwählen. Meine Auswahl war ziemlich willkürlich. Allerdings konnte ich nur Elemente auswählen, die auch in den jeweiligen Mengen enthalten sind.

Eine andere Formulierung des Auswahlaxioms ist:

Sei eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen . Dann gibt es eine Menge , die mit jedem genau ein gemeinsames Element hat. Der Index i bei B bezeichnet verschiedene Mengen B. Aus diesen verschiedenen Mengen B kann man also bestimmte Elemente auswählen und zu einer neuen Menge C vereinigen.