Bausteine der Aussagenlogik

Stellen Sie sich vor, Sie müssten die Logik in einer präzisen Sprache beschreiben, die zugleich alle Phänomene der Logik beinhaltet und in sich frei von Widersprüchen ist. Sie könnten vorgehen wie der alte Aristoteles, die eigene Muttersprache benutzen, bekannte Begriffe benutzen, sie zu Akronymen verkürzen und ein System an Regeln zusammenzustellen. Diese Vorgehensweise würde der natürlichen Sprache nachempfunden, von den Buchstaben ausgehen, daraus Wörter bilden und Sätze bilden, die möglichst einen Sinn ergeben, also praktisch vom Einfachen zum Komplexen fortschreiten. Ihre logische Sprache würde der natürlichen Sprache ähnlich sehen, allerdings stark eingeschränkt auf ganz wenige sprachliche Elemente sein. Und sie dürfte keine persönlichen Wertungen oder individuell “verschrobene” Ansichten enthalten, sondern intersubjektiv überprüfbar und als brauchbar beurteilt wird. Das Ziel Ihrer logischen Sprache sei unverrückbar auf die Begründung (den “Beweis”) von mathematischen Aussagen und damit schließlich auf die gesamte Mathematik ausgerichtet. Mit einer logischen Sprache würden Sie dem Gebäude der Mathematik eine feste Grundlage geben. Es würde genügen, mit einfachen Materialien zu arbeiten und aus ihnen stabile Grundmauern zu errichten. Sie wären der Baumeister der Mathematik und müssten wie er, den Stift in die Hand nehmen und rechnen, was früher die alten Römer mit kleinen Steinen aus Kalk gemacht hatten. Die nannten sie „calculus”, daher der moderne Name Kalkül (von lat. calculus „Rechenstein, Spielstein“) mit dem männlichen bestimmten Artikel „der”!

Sie würden statt dieser Steinchen mit Buchstaben und besonderen Zeichen umgehen und daraus ein sprachliches Gebäude aufbauen, ein System von Regeln und Aussagen. Statt „eins plus eins ergibt zwei” würden Sie zwei Aussagen verketten und sagen „Aussage 1 mit der Aussage 2 verbunden ergibt eine dritte Aussage” oder „wenn die Aussage 1 wahr ist und die damit verbundene zweite Aussage auch wahr ist, dann lege ich fest, dass ihre gemeinsame Verbindung auch wahr sein soll.”

In Ihrer Logik ständen nicht Zahlen im Vordergrund, sondern bestimmte abstrakte Aussagen und Regeln, die mit diesen Aussagen in enger Verbindung stehen. Dieses logische System sollte allerdings nicht willkürlich oder abstrus sein, sondern sollte Ihrem angeborenen logischen Denken folgen, auch für andere nachvollziehbar sein. Sie würden Ihre eigene Lebenserfahrung abstrakt in dieses System übertragen. Ihre Lebenserfahrung und Ihre Erkenntnisse daraus wären die empirische Stütze Ihrer logischen Sprache, die Sie wiederum zu neuen Erkenntnissen führen würde. Der fortlaufende Abgleich mit der Realität würde Ihrer logischen Sprache die nötige Plausibilität und Akzeptanz von anderen Mathematikern geben.

Das zeigt deutlich, dass die Mathematik eine Geisteswissenschaft ist und nicht über Experimente empirisch bewiesen werden kann. Haben Sie sich erst einmal für eine bestimmte Denkrichtung entschieden, müssen Sie diese bis zum Schluss durchhalten und bei Unregelmäßigkeiten oder logischen Brüchen diese kennzeichnen. Nur offensichtlich irrige Ansichten oder mathematische Verfahren, die sich als unzureichend oder unpraktisch herausstellen, dürfen Sie getrost aufgeben.

Im Folgenden stelle ich ein Kalkül vor, das ich schön finde.

Definition 1. Kalkül

Unter Kalkül versteht man ein System von Regeln, mit denen sich aus gegebenen Aussagen (Axiomen) weitere Aussagen ableiten lassen.

Damit sind wir beim Thema. Die Kalküle im Bereich der Logik werden Logikkalküle genannt. Sie haben eine bestimmte „Syntax” “Satzlehre”; aus dem griechischen Wort σύνταξις [süntaxis] = σύν [sün] zusammen; ταξις [taxis] Ordnung, also „Anordnung” oder “Zusammenstellung”, die sehr formal ausgeprägt ist und nur mit wenigen „Wörtern” auskommt.

Als Bausteine der aussagenlogischen Sprache sollen Atome, vom griechischen ἄτομος [átomos], was „Unzerschneidbares“ bedeutet, Junktoren, von lat. iungere „verknüpfen, verbinden“ und Gliederungszeichen verwendet werden.

Atome sollen die Zeichen sein.
Junktoren sollen die Zeichen ¬ (nicht), (und), (oder), (wenn - dann), (genau dann - wenn) sein.
Als Gliederungszeichen sollen die runden Klammern ( … ) dienen.

Der logische Begriff „Atome” hat eine andere Bedeutung als im täglichen Sprachgebrauch. Damit sind keine Materieteilchen gemeint, sondern Satzaussagen (“Prädikate”), wie z. B. “ich rechne”. Das Verb “rechne” ist das Prädikat des Satzes. Das Akronym von Prädikat ist ein P. Die einzelnen Prädikate werden durch den Index unterschieden . Man könnte sich auch als “Satzvariablen” bezeichnen.

Wie sich das für einen ordentlichen Mathematiker gehört, kann man die obigen logischen Bausteine in der Mengensprache ausdrücken. Die Mengennamen können Sie an dem doppelten Strich links am Buchstaben schnell erkennen. Die Prädikate (Aussagen) haben geschwungene Formen.

Sei die (abzählbar unendliche) Menge der Atome (Satzvariablen):

: Menge der natürlichen Zahlen inklusive 0, d. h.

Sei die Menge der Junktoren und Gliederungszeichen:

Das Alphabet der logischen Sprache sei die Menge , also die Vereinigungsmenge von Atomen, Junktoren und Gliederungszeichen.

Aus diesen Bausteine, also den Grundelemente (Grundzeichen), können Sie nun komplexere Ausdrücke zusammensetzen. Die Gesamtheit der Bausteine des Kalküls wird deshalb auch sein Alphabet genannt. In natürlichen Sprachen würde man die Liste dieser Bausteine als „Wörterbuch“ (im Sinn einer Wörterliste) des Kalküls bezeichnen. Wer die Mengenlehre mag, wird die Gesamtheit der von den Formationsregeln gebildeten, wohlgeformten Ausdrücke “Satzmenge des Kalküls” nennen.

Das logische Kalkül hat, wie Sie bestimmt selber gemerkt haben, einiges mit Ihrer Muttersprache gemeinsam. Es sieht aus wie eine stark verkürzte Fassung einer natürlichen Sprache mit einer bestimmten Zielrichtung.

Gehen wir noch weiter mit der Analogie zur natürlichen Sprache. Die logischen Schlussregeln entsprechen der “Grammatik” des Kalküls. Ein kleines Beispiel macht das unmittelbar einsichtig und klar:

„Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.”

Aus dem Satz (“wenn es regnet”) schließen wird auf den Satz (“dann wird die Straße nass”).

In der Form des logischen Kalküls geschrieben, lautet dieser Schluss so:

In der Umgangssprache wird stillschweigend vorausgesetzt, dass es wirklich “regnet”. Das muss man allerdings explizit im Kalkül mit angeben. Deswegen steht dort zusätzlich, (“es regnet”).

ist die Abkürzung für “der Schluss ist wahr”.

Die logischen Ableitungsregeln werden (lateinisch) “Transformationsregeln” oder “Deduktionsregeln” genannt.

Eine kleine Nebenbemerkung: Aus der Fülle der fremdartigen Begriffe kann geschlossen werden, dass für die Logik und auch für die höhere Mathematik ein neuer, von der Umgangssprache abgehobener Wortschatz gelernt werden muss. Sprechen dann zwei Mathematiker in ihrer Sprache, dann werden die Umstehenden nichts verstehen. Deshalb gibt es immer wieder Forderungen, keine Fremdwörter zu benutzen. Würde man die obigen Fachbegriffe “deutsch” übersetzen, käme dadurch keine größere Klarheit heraus. Damit könnte ein Laie auch nicht viel anfangen. Ein paar Beispiele mögen das zeigen:

Beispiele: “Satzbuchstaben” (Atome), “Verbindungszeichen” (Junktor), “logisches Rechenverfahren” (Logikkalkül).

Stellt euch sich vor, ihr müssten die Logik in einer präzisen Sprache beschreiben, die zugleich alle Phänomene der Logik beinhaltet und in sich frei von Widersprüchen ist. Ihr könntet vorgehen wie der alte Aristoteles, die eigene Muttersprache benutzen, bekannte Begriffe benutzen, sie zu Akronymen (Akürzungen) verkürzen und ein System an Regeln zusammenzustellen. Diese Vorgehensweise würde der natürlichen Sprache nachempfunden, von den Buchstaben ausgehen, daraus Wörter bilden und Sätze bilden, die möglichst einen Sinn ergeben, also praktisch vom Einfachen zum Komplexen fortschreiten.

Eure logische Sprache würde der natürlichen Sprache ähnlich sehen, allerdings stark eingeschränkt auf ganz wenige sprachliche Elemente sein. Und sie dürfte keine persönlichen Wertungen oder individuell „verschrobene” Ansichten enthalten, sondern intersubjektiv überprüfbar und als brauchbar beurteilt wird. Das Ziel Ihrer logischen Sprache sei unverrückbar auf die Begründung (den „Beweis”) von mathematischen Aussagen und damit schließlich auf die gesamte Mathematik ausgerichtet. Mit einer logischen Sprache würdet ihr dem Gebäude der Mathematik eine feste Grundlage geben. Es würde genügen, mit einfachen Materialien zu arbeiten und aus ihnen stabile Grundmauern zu errichten. Ihr wärt der Baumeister der Mathematik und müsstet wie er, den Stift in die Hand nehmen und rechnen, was früher die alten Römer mit kleinen Steinen aus Kalk gemacht hatten. Die nannten sie „calculus”, daher der moderne Name Kalkül (von lat. calculus „Rechenstein, Spielstein“) mit dem bestimmten Artikel „der”!

Ihr würdet statt dieser Steinchen mit Buchstaben und besonderen Zeichen umgehen und daraus ein sprachliches Gebäude aufbauen, ein System von Regeln und Aussagen. Statt „eins plus eins ergibt zwei” würdet ihr zwei Aussagen verketten und sagen „Aussage 1 mit der Aussage 2 verbunden ergibt eine dritte Aussage” oder „wenn die Aussage 1 wahr ist und die damit verbundene zweite Aussage auch wahr ist, dann lege ich fest, dass ihre gemeinsame Verbindung auch wahr sein soll.”

In eurer Logik stünden nicht Zahlen im Vordergrund, sondern bestimmte abstrakte Aussagen und Regeln, die mit diesen Aussagen in enger Verbindung stehen. Dieses logische System sollte allerdings nicht willkürlich oder abstrus sein, sondern sollte Ihrem angeborenen logischen Denken folgen, auch für andere nachvollziehbar sein. Ihr würdet eure eigene Lebenserfahrung abstrakt in dieses System übertragen. Eure Lebenserfahrung und eure Erkenntnisse daraus wären die empirische Stütze Ihrer logischen Sprache, die euch wiederum zu neuen Erkenntnissen führen würde. Der fortlaufende Abgleich mit der Realität würde eurer logischen Sprache die nötige Plausibilität und Akzeptanz von anderen Mathematikern geben.

Das zeigt deutlich, dass die Mathematik eine Geisteswissenschaft ist und nicht über Experimente empirisch bewiesen werden kann. Habt ihr euch erst einmal für eine bestimmte Denkrichtung entschieden, müsst ihr diese bis zum Schluss durchhalten und bei Unregelmäßigkeiten oder logischen Brüchen diese kennzeichnen. Nur offensichtlich irrige Ansichten oder mathematische Verfahren, die sich als unzureichend oder unpraktisch herausstellen, dürft ihr sie getrost aufgeben.

Im Folgenden stelle ich ein Kalkül vor, das ich schön finde.

Kalkül

Unter Kalkül versteht man ein System von Regeln, mit denen sich aus Axiomen weitere Aussagen ableiten lassen.

Damit sind wir beim Thema. Die Kalküle im Bereich der Logik werden Logikkalküle genannt. Sie haben eine bestimmte Syntax („Satzlehre”); aus dem griechischen Wort σύνταξις [süntaxis] = σύν [sün]: zusammen; ταξις [taxis]: Ordnung , also „Anordnung” oder „Zusammenstellung”., die sehr formal ausgeprägt ist und nur mit wenigen Wörtern auskommt.

Als Bausteine der aussagenlogischen Sprache sollen Atome vom griechischen ἄτομος [átomos], was „das Unzerschneidbare” bedeutet, und Junktoren von lat. iungere „verknüpfen, verbinden“. und Gliederungszeichen verwendet werden.

Atome sollen die Zeichen sein.
Junktoren sollen die Zeichen (nicht), (und), (oder), (wenn - dann), (genau dann - wenn) sein.
Als Gliederungszeichen sollen die runden Klammern dienen.

Der logische Begriff „Atome” hat eine andere Bedeutung als im täglichen Sprachgebrauch. Damit sind keine Materieteilchen gemeint, sondern „Prädikate”(Satzaussagen), wie z. B. „(ich) rechne”. Das Verb „rechne” ist das Prädikat des Satzes. Man könnte sich auch als „Satzvariablen” bezeichnen. Das Akronym von Prädikat ist hier P. Die einzelnen Prädikate werden durch den Index unterschieden.

Sei V die abzählbar unendliche Menge der Atome, d.h. Satzvariablen:

Die einzelnen Prädikate unterscheiden sich durch die Indizes, die mit Hilfe der natürlichen Zahlen gebildet werden. Die Menge der natürlichen Zahlen schließt die 0 ein , das heißt, die Prädikate beginnen mit dem Index 0, also

Sei J die Menge der Junktoren und Gliederungszeichen:

Alphabet einer logischen Sprache

Das Alphabet der logischen Sprache sei die Menge , also die Vereinigungsmenge von Atomen, Junktoren und Gliederungszeichen.

Aus diesen Bausteine, also den Grundelemente (Grundzeichen), könnt ihr nun komplexere Ausdrücke zusammensetzen. Die Gesamtheit der Bausteine des Kalküls wird deshalb auch sein Alphabet genannt. In natürlichen Sprachen würde man die Liste dieser Bausteine als Wörterbuch (im Sinn einer Wörterliste) des Kalküls bezeichnen. Wer die Mengenlehre mag, wird die Gesamtheit der von den Formationsregeln gebildeten, wohlgeformten Ausdrücke Satzmenge des Kalküls nennen.

Das logische Kalkül hat, wie ihr bestimmt selber gemerkt haben, einiges der Muttersprache gemeinsam. Es sieht aus wie eine stark verkürzte Fassung einer natürlichen Sprache mit einer bestimmten Zielrichtung.

Gehen wir noch weiter mit der Analogie zur natürlichen Sprache. Die logischen Schlussregeln entsprechen der Grammatik des Kalküls. Ein kleines Beispiel macht das unmittelbar einsichtig und klar:

„Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.”

Aus dem Satz a („wenn es regnet”) schließen wird auf den Satz b („dann wird die Straße nass”).

In der Form des logischen Kalküls geschrieben, lautet dieser Schluss so:

In der Umgangssprache wird stillschweigend vorausgesetzt, dass es wirklich „regnet”. Das muss man allerdings explizit im Kalkül mit angeben. Deswegen steht dort zusätzlich , dass die Aussage a wahr ist („es regnet”).

Die logischen Ableitungsregeln werden (lateinisch) Transformationsregeln („Umformung“) oder „Deduktionsregeln” („Ableitungsregeln“) genannt.

Eine kleine Nebenbemerkung: Aus der Fülle der fremdartigen Begriffe kann geschlossen werden, dass für die Logik und auch für die höhere Mathematik ein neuer, von der Umgangssprache abgehobener Wortschatz gelernt werden muss. Sprechen dann zwei Mathematiker in ihrer Sprache, dann werden die Umstehenden nichts verstehen. Deshalb gibt es immer wieder Forderungen, keine Fremdwörter zu benutzen. Würde man die obigen Fachbegriffe „deutsch” übersetzen, käme dadurch keine größere Klarheit heraus. Damit könnte ein Laie auch nicht viel anfangen. Ein paar Beispiele mögen das zeigen:

Beispiele

„Satzbuchstaben” statt Atome, „Verbindungszeichen” statt Junktor, „logisches Rechenverfahren” statt Logikkalkül.

Formationsregeln

Nun ist es soweit. Das Alphabet der logischen Sprache (Atome, Junktoren, Gliederungszeichen) kennen Sie bereits. Damit könnt ihr beliebige Sätze bilden. Die nennt man Formeln. Auch die Prädikate p zählen dazu. Sie sind Ihnen unter dem Namen Atome bekannt. Oft werden sie auch „atomare Formeln” genannt, was aber nichts mit der Atomphysik zu tun hat.

Was alles eine Formel oder sein kann, wird im Folgenden aufgelistet:

1) Alle Atome sind Formeln: .

2) Die Negation (nicht) von ist auch Formel:

3) Die Konjunktion (und) von und ist auch eine Formel:

4) Die Disjunktion (oder) von und ist auch eine Formel:

5) Die Implikation (wenn - dann) von und ist auch eine Formel:

6) Das Bikonditional (genau dann - wenn) von F und G sind auch Formeln:

Die Formeln F und G sind nicht notwendigerweise unterschiedlich. Bei Aristoteles findet man noch weitere Formeln (”ist notwendig” usw.), die sich jedoch für die Mathematik als unnötig oder unbrauchbar herausgestellt haben.

Interessant ist, dass die Implikation („wenn - dann”) und das Bikonditional („genau dann - wenn”) durch die Negation („nicht”) und Disjunktion („oder”) ersetzt werden können (wird später gezeigt). Das aus der Umgangssprache bekannte „Wenn-Dann” ist viel einfacher zu verstehen und wird deshalb häufiger benutzt. Mit den obigen logischen Verknüpfungen kann man in der Mathematik gut umgehen. Sie reichen völlig aus.

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