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Beispiel 1: Standardbasis und Nichtstandardbasis

Gegeben ist der Vektor mit den Einheitsvektoren.

Gegeben ist der neue Basisvektor , der zwei weitere Basisvektoren enthält.

Die Transitionsmatrix , die durch die beiden neuen Basisvektoren gebildet wird, lautet:

Finde die Koeffizienten von in der neuen Basis .

(Umrechnungsgleichung)

Dividiere durch die Matrix . Dazu werden beide Seiten der Gleichung mit ihrer inversen Matrix (links) multipliziert.

Das Produkt der Transitionsmatrix mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix .

Die Einheitsmatrix kann entfallen. Sie verändert das Produkt nicht. Die konkreten Zahlen für den Vektor einsetzen. Die Gleichung umstellen und die konkreten Zahlen für den Vektor einsetzen.

Nun die inverse Matrix errechnen.

Musterrechnung:

Spaltenmatrix

Die Elemente der Hauptdiagonalen werden vertauscht, während die Elemente der Nebendiagonalen nur ein entgegengesetztes Vorzeichen erhalten.

Die neue Vertauschungsmatrix wird durch ihre Determinante dividiert.

Konkrete Rechnung mit den angegebenen Zahlen:

Die inverse Matrix in die Formel einsetzen und mit dem Vektor multiplizieren.

Berechne

Waagerechte Matrixelemente mal Zeilenvektor.

Das sind die Koordinaten für den Vektor mit der neuen Basis .

????

Probe:

Die konkreten Zahlen einsetzen.