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Beispiel: Normalenvektor

Gegeben sind die Geraden

und die Ebene

(1) Bestimme den Normalenvektor zur Ebene

Der Vektor muss senkrecht zu den Spannvektoren und sein. Das wird mit Hilfe des Skalarprodukts ermittelt. Es muss ergeben.

und

Als Komponenten:

:

In Matrixform:

Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich nicht eindeutig lösen, weil eine dritte Gleichung für die drei Variablen fehlt.

Eine von mehreren Lösungen dieses Gleichungssystems ist ???? warum

(2) Untersuche die Lagebeziehung des Richtungsvektors von und des Normalenvektors

Das Skalarprodukt des Richtungsvektors mit dem Normalenvektor muss ergeben. Dann stehen sie senkrecht aufeinander.

Das Ergebnis zeigt, die beiden Vektoren sind senkrecht zueinander.

(3) Punktprobe des Geradenpunktes

Die Punktprobe führt zur Erkenntnis, ob der Punkt der Gerade in der Ebene liegt oder nicht.

Ein lineares Gleichungssystem in Matrizenform, also ohne die Variablennamen, wird aufgestellt.

Ausrechnen.

Ausrechnen. Ergebnis.

Ausrechnen.

Ausrechnen. Ergebnis. Die Hauptdiagonale enthält Zahlen, darunter befinden sich nur Nullen.

Lösungen:

(III)

(II)

Der Lösungsvektor wird in die Gleichung für die Ebene eingesetzt. Die Komponente wird aber nicht gebraucht. Wenn die Gleichungen stimmig sind, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

Ebenengleichung

Nach dem Einsetzen der Koeffizienten und :

Die Ebenengleichung geht nicht auf. Der Punkt liegt also nicht in der Ebene. Die Gerade und die Ebene müssen also parallel zueinander sein.

(4) Prüfe, ob die Gerade die Ebene schneidet

Wenn die Gerade ein Vielfaches des Normalenvektors ist, verläuft sie parallel zu ihm und schneidet mit ihm auch die Ebene. Sie verhalten sich wie Zwillinge, die immer das Gleiche tun.

Als Komponenten:

Wenn , dann

Die Gleichung geht auf. Die Gerade schneidet die Ebene also senkrecht.