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Berechnung des Projektionsvektors

Die Länge des Projektionsvektor zu berechnen ist sehr interessant. Dazu sind einige Schritte notwendig.

Es besteht eine Proportionalität zwischen dem parallelen Vektor (= Projektionsvektor) und dem Vektor .

(1)

Der Projektionsvektor entsteht aus der Summe der beiden Vektoren und .

(2)

Die Gleichungen (1) und (2) werden gleichgesetzt.

(3)

Umstellen nach dem senkrechten Vektor und mit multiplizieren.

|

Den Klammerausdruck ausmultiplizieren und die Faktoren ordnen.

Weil die beiden Vektoren und senkrecht aufeinander stehen, wird ihr Skalarprodukt null.

, weil

Vektoren, die mit sich selbst multipliziert werden, haben eine quadratische Länge.

, weil

Umstellen nach :

Einsetzen des Koeffizienten in die Gleichung (1).

Anwenden der Definition des Einheitsvektors. Der Vektor wird durch seine Länge dividiert.

Es gibt hier sogar zwei Einheitsvektoren:

Die Klammerung ist hilfreich beim Ausrechnen.

Beispiel

Orthogonale Projektion des Vektors auf den Vektor .

Lies die Koordinaten der Ortsvektoren ab.

Die Länge von Vektor ist:

Der Einheitsvektor (= Richtungsvektor) von ist:

Der Projektionsvektor wird nach dem folgenden Schema berechnet:

„Richtungsvektor mal dem Vektor , mal dem Richtungsvektor “.

Setze die Zahlen ein:

Berechne das Skalarprodukt:

Multipliziere die beiden Koeffizienten:

Kürze den einen Koeffizienten und multipliziere mit dem Vektor:

Das ist der Projektionsvektor.

Du kannst das Ergebnis anhand der Zeichnung überprüfen.