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Skále ärdút fun streksels (Skalarprodukt von Vektoren)

Met help fun de skále ärdút dí lüd kunen beréken de timp mang streksels. Só et is ók bar tau herutfinen, of twé streksels kars upénander stán. De timp mang jüm is don grad. De skále ärdút möt sin don glíkig nul.

Bispél:

Málném dí anelk samhürige samlides un sum de ärdútes.

Hír in de bispél dí streksels upénander stán nit kars.

Das Skalarprodukt wird benötigt, um Winkel zwischen zwei Vektoren zu messen. Damit kann man z.B. die Orthogonalität prüfen oder Projektionen durchführen.

Das Skalarprodukt liefert eine reelle Zahl.

Mengen:

Funktion:

Definition:

Das Skalarprodukt ist die Multiplikation der Seitenlängen mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.

Geometrische Definition

Das Skalarprodukt   zweier Vektoren  und  ist definiert als das Produkt aus der Länge von Vektor und der Länge der Projektion vom Vektor  auf den Vektor .

Das Lot wird von der Pfeilspitze vom Vektor auf den unteren Vektor gefällt. Das linke Stück des Vektors von seinem Fuß bis zur Stelle, wo die senkrechte Linie beginnt, ist die Strecke (Länge) der Projektion.

Die Multiplikation der beiden Beträge und ergibt eine Fläche aus dem Skalarprodukt.

Das Skalarprodukt ist gleich der schraffierten Fläche.

Durch die Projektion ist ein rechtwinkliges Dreieck entstanden.

Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel, also der Vektor .

Die Ankathete ist die Seite mit der Projektion.

Aus diesen beiden Angaben lässt sich der Cosinus berechnen. Er ist das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse.

Daraus folgt durch Umstellung (Längenangaben):

Die Ankathete und die Projektion auf sind identisch. Die Hypotenuse ist der Vektor .

Das bedeutet, dass jetzt die Länge der Projektion errechnet werden kann. Statt Ankathete schreibst du Projektion. Dann ersetzt du das Wort Hypotenuse durch .

Diese Variable setzt du in die Definition für das Skalarprodukt ein.

Definition:

Daraus folgt für das Skalarprodukt:

Anders ausgedrückt:

Die Variablen ohne die Betragsstriche sind Längenangaben.

Aus dieser Formal kann man schnell durch Umstellung den Winkel errechnen.

Der Winkel ergibt sich aus dem Arcus-Cosinus.

Beispiel

Berechne aus den Angaben in der Zeichnung den Winkel .

Ermittele aus den Punkten die dazugehörigen Vektoren.

Berechne die Beträge der Vektoren auf drei Stellen genau.

Berechne den Winkel.

Vergleiche den errechneten Winkel mit dem Winkel in der Zeichnung. Es gibt eine minimale Abweichung.