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Skalarprodukt und Cosinussatz 2

Ziel: Den Cosinussatz mittels Vektoren herleiten.

Cosinussatz:

Gemäß der Zeichnung gilt: Der Vektor geht aus der Differenz der beiden anderen Vektoren und hervor.

Du brauchst für den Beweis des Cosinussatz die quadrierte Seitenlänge des Dreiecks. Der Betrag (= Länge) eines Vektors ist definiert durch:

Die Quadratur ergibt:

Das Quadrat identischer Vektoren ergibt also das Quadrat ihres Betrags. Daher ist , und .

Quadriere auch die Differenz der Vektoren.

Rechne die binomische Formel aus:

Ersetze die quadrierten Beträge von und durch die quadrierten Kleinbuchstaben und .

Der mittlere Term erinnert an die Definition des Cosinus:

Nämlich:

“Def. Cos”:

Nutze diese Erkenntnis. Füge die „Def. Cos“ in die obige Gleichung ein.

Das kannst du so nicht stehen lassen. Du hast ja einen veränderten Term eingesetzt. Also erweiterst du den Bruch mit . Dann stimmt die Sache wieder. Die Erweiterung verändert den Term ja nicht.

Anstelle des umständlichen mittleren Terms schreibe .

Nach der Umsortierung der Variablen erscheint der bekannte Cosinus-Satz.

Bravo!