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Skalarprodukt und Cosinussatz 1

Es sind folgende Vorkenntnisse nötig:

Einfache algebraische Umformungen, Errechnung der Beträge von Vektoren aus ihren Komponenten, Rückführung einer Linearkombination mit zwei Termen auf das Skalarprodukt, Anwendung der binomischen Formel, Quadrieren einer Wurzel.

Ziel: Das Skalarprodukt aus dem Cosinussatz herleiten.

Cosinussatz:

In Vektorenschreibweise:

Die Länge eines Vektors wird durch die Betragsstriche gekennzeichnet.

Ersetze die Vektoren und mit den Betragsstrichen durch und , aber nur hinter dem Cosinus-Symbol.

Der Zeichnung entnimmst du:

Setze diese Differenz bei ein:

Schreibe die Komponenten der Vektoren auf:

Jetzt errechne die Längen der Vektoren. Das geschieht über den Satz des Pythagoras.

1) Betrag der Differenz vor dem Gleichheitszeichen:

(Wurzel entfällt)

(Binome ausrechen)

2) Beträge der Vektoren hinter dem Gleichheitszeichen:

(Wurzel entfällt)

(Wurzel entfällt)

3) Setze die Beträge von (1) und (2) in die folgende Cosinus-Gleichung ein.

Cosinus-Gleichung nach dem Einsetzen:

Streiche die gleichen Summanden. Alle Quadrate verschwinden. Das bleibt übrig:

4) Dividiere durch . Das bleibt übrig:

Nebenrechnung: Verwandle die Komponenten vor dem Gleichheitszeichen in ein Skalarprodukt. Dann schreibe die Komponenten als Vektoren:

Weiter mit der Cosinus-Formel von (4).

Setze das Skalarprodukt ein. Das ergibt:

Stelle nach Cosinus um:

Der Arcus-Cosinus ergibt den Winkel:

Satz 1

In den Fällen n = 2, 3 gilt

mit als eingeschlossener Winkel zwischen beiden Vektoren

Beweis

Kosinussatz

Bemerkung:

Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander dann

und

Wenn dann oder oder

Folgerung:

Folgerung:

sei Einheitsvektor, d.h. ,

dann geben e_x, e_y, und e_z jeweils den Kosinus zwischen und , und an.