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Eigenschaften des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt in einem Vektorraum ist eine Multiplikation von Vektoren.

Mindestens zwei Vektoren werden miteinander verknüpft ( multipliziert), so dass daraus ein (reelles) Produkt entsteht.

Formal geschrieben:

Mengen:

Funktion:

Bei der Mengenangabe wird gesagt, dass reelle Zahlen benutzt werden. Bei der Funktion wird vorgegeben, was getan werden soll, nämlich das Produkt bilden.

Dazu werden drei Axiome benutzt:

(SP 1) Symmetrie (Vertauschbarkeit)

Die Vektoren können beim Skalarprodukt vertauscht werden.

(SP 2) Positivität

Vektoren haben beim Skalarprodukt eine positive Länge, außer bei Nullvektoren.

Wenn ein Vektor mit sich selbst multipliziert wird, dann ist dieses Produkt stets positiv. Es gibt also keine Vektoren mit einer negativen Länge. Die Voraussetzung ist allerdings, dass der Vektor kein Nullvektor ist.

Das Produkt eins Nullvektors mit sich selbst ergibt stets null.

(SP 3) Homogenität (Gleichartigkeit)

Vektoren können beim Skalarprodukt durch einen Vorfaktor (Skalar) gelängt oder verkürzt werden. Es ist unerheblich, bei welchem Vektor der Vorfaktor steht.

Man kann einen gemeinsamen Faktor in den Komponenten eines Vektors rausziehen und vor den Vektor schreiben.

(SP 4) Distributivität (Linearität)

Ein Vektor kann mit zwei anderen Vektoren multipliziert werden, die additiv miteinander verbunden sind (= Summe). Dazu multipliziert man den Vektor jeweils einzeln mit den anderen Vektoren und addiert dann die beiden Produkte.

Ein Vektor kann auch hinter einer Summe von Vektoren stehen. Die Vektoren werden dann (wie oben) einzelnen mit dem Vektor multipliziert und ihre Produkte addiert.

Anwendung

Kleine Anwendung der obigen Axiome:

Start:

Symmetrie:

(SP 1)

( wurde verschoben, kam nach vorne)

Homogenität:

(SP 3)

( wurde rausgezogen,
rutschte in die Klammer)

Symmetrie:

(SP 1)

( und wurden vertauscht)

Die Vektorfaktoren und können vertauscht werden (SP 1). Der Skalar kann vom Vektor rausgezogen werden und vor das Produkt von Vektoren gesetzt werden (SP 3). Die Vektorfaktoren in der Klammer können auch vertauscht werden.

Eine Vektorsumme kann mit einem Vektor multipliziert werden. Daraus ergeben sich zwei Produkte von Vektoren und , die den Vektor gemeinsam haben.