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Beweis des Satzes von Pythagoras

Der Satz des Pythagoras trifft auf jedes rechtwinklige Dreieck zu. Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

Gilt der Satz des Pythagoras auch bei Vektoren? Dazu zerlege die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks in Vektoren.

Pythagoras:

In Komponenten:

Gegeben sind:

1) Der rechte Winkel zwischen den Vektoren und .

Orthogonalität bedeutet, dass das Skalarprodukt null ist.

2) Die Addition der beiden Katheten und ergibt die Hypotenuse .

Beweisführung:

Der Beweis erfolgt über die Hypotenuse. Setze für die Summe der Vektoren und ein.

Multipliziere die Vektorsummen aus.

Setze die Betragsstriche um jeden Term.

Beachte, welche Vektoren orthogonal sind und ihr Skalarprodukt somit null ist. Die Katheten und und stehen ja senkrecht aufeinander.

+ + +

Also ist:

Die Summe der Länge der Kathetenquadrate ist also gleich der Länge des Quadrats der Hypotenuse, auch bei der Vektorrechnung.

Du kannst für die Angabe der Länge auch Kleinbuchstaben benutzen. Das sieht übersichtlicher aus.

Beispiel

Länge der Kathete:

Quadrat der Kathete:

Länge der Kathete:

Quadrat der Kathete:

Länge der Hypotenuse (Pythagoras):

Satz des Pythagoras

Frage: Gilt der Satz des Pythagoras auch bei Vektoren?

Gegeben sind:

1) Der rechte Winkel zwischen den Vektoren und

Orthogonalität bedeutet, dass das Skalarprodukt null ist.

2) Die Addition der beiden Katheten und ergibt die Hypotenuse .

Beweis:

Der Beweis erfolgt über die Hypotenuse. Setze für die Summe der Vektoren und ein.

Multipliziere die Vektorsummen und beachte, welche Vektoren orthogonal und somit null sind.

+ + +

Also ist:

Die Summe der Länge der Kathetenquadrate ist gleich der Länge der Hypotenuse, was auch bei der Vektorrechnung gilt.

Parallel- und Orthogonalkomponente

Der Vektor kann in eine parallele Komponente und eine orthogonale Komponente zerlegt werden.

Aus der Zeichnung kannst du die folgenden Beziehungen ablesen:

1) Der Vektor ergibt sich aus der Addition der parallelen und orthogonalen Komponente.

2) Die parallele Komponente ist zum Vektor parallel.

3) Die senkrechte Komponente steht senkrecht auf dem Vektor

Behauptung:

Die parallele Komponente soll gleich dem Skalarprodukt der Vektoren und sein, wobei ein Korrekturfaktor benutzt wird, damit die Gleichung stimmt.

Setze die Gleichung aus 1) ein:

Aufgabe

Sind die Vektoren orthogonal?

Prüfe über das Skalarprodukt.

Ich benutze das Symbol (Gleichheitszeichen mit Buckel), weil ich noch nicht weiß, ob wirklich eine Gleichheit vorliegt.

Errechne das Skalarprodukt:

Das Skalarprodukt ist ungleich null, daher stehen die beiden Vektoren nicht senkrecht auseinander.

Berechnung des von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels

Durch Umformung der Formel

Skalarprodukt berechnen:

Beträge der Vektoren berechnen:

Die ermittelten Zahlen in die Formel für den Cosinus einsetzen:

Der Winkel ergibt sich aus dem Arcus-Cosinus, der Umkehrung des Cosinus. Nimm einen Taschenrechner und tippe die Zahl ein. Das ergibt: