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Geometrische Begriffe

Geometrische Deutung des Skalarproduktes

Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist eine Zahl, deren Betrag dem Flächeninhalt des Rechteckes entspricht, dessen Seiten so lang sind wie die Vektoren und. Dabei ist die senkrechte Projektion von auf .

Das Skalarprodukt ist positiv, falls der Winkel zwischen den Vektoren und spitz ist.

Das Skalarprodukt ist negativ, falls der Winkel zwischen den Vektoren und stumpf ist.

Geometrische Begriffe

Der Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist ein nützliches Maß, Beziehungen zwischen Vektoren zu beschreiben.

Definition:

1) Orthogonalität

Zwei Vektoren stehen orthogonal aufeinander, wenn der Winkel zwischen ihnen beträgt. Der Cosinus (= Ankathete) ist dann null.

Je größer der Winkel wird, umso kürzer wird die Ankathete, bis sie schließlich bei verschwindet.

2) Projektion

Bei der Projektion wird das Lot von einem Vektor auf einen anderen Vektor gefällt. Der Lot-Vektor steht senkrecht auf dem Vektor.

Projektion von auf

Das vordere untere Stück entspricht der Ankathete des rechtwinkligen Dreiecks. Ihre Länge ergibt sich aus der Multiplikation der Hypotenuse mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.

Anmerkung. Es werden nur Seitenlängen multipliziert, daher die Kleinbuchstaben.

Eine Projektion von Vektor auf den Vektor ist auch möglich. Die Hypotenuse liegt unten. Sie besteht aus der ganzen Grundseite des Dreiecks. Die Ankathete verläuft schräg nach oben (links) bis zum rechten Winkel.

3) Parallelität

Wenn zwei Vektoren parallel verlaufen, ist der Winkel zwischen ihnen null und damit beträgt der Wert des Cosinus .

Benutze die Definition des Cosinus

und setze für null Grad ein.

Parallele Vektoren:

4) Antiparallelität

Wenn zwei Vektoren antiparallel verlaufen, ist der Winkel zwischen ihnen und damit beträgt der Wert des Cosinus minus eins. Das kannst du schön am Einheitskreis beobachten. Die Minus eins befindet sich links auf der -Achse.

(liegt links)

Benutze die Definition des Cosinus

und setze für 180 Grad ein.

Antiparallele Vektoren:

Die Norm (Betrag, Länge) eines Vektors ist definiert als das Produkt von Vektoren aus sich selbst, das dann radiziert wird.

Orthogonalität zweier Vektoren

Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn ihr Produkt von Vektoren null ist.

Euklidischer Vektorraum

Hat ein Vektorraum ein Produkt von Vektoren, dann heißt er euklidisch.

Beispiele

Frage: Kann auch eine Summe aus Produkt von Vektorenen senkrecht zu einem begebenen Vektor stehen?

Wir wissen: Wenn das Produkt von Vektoren null ist, dann stehen die betreffenden Vektoren senkrecht aufeinander.

Nun prüfen wir, ob auch die Summe der beiden Produkt von Vektorene senkrecht aufeinander steht.

Vorgehensweise:

Statt des Symbols für die Orthogonalität schreibst du einen Malpunkt und setzt die Gleichung auf null.

Hier kannst du das Distributivgesetz anwenden (SP 3), damit du die jeweiligen Produkte der Vektoren errechnest. Du prüfst sie dann auf Orthogonalität bezüglich des Vektors .

Die beiden Produkte von Vektoren und sind bekanntlich null.

Fazit: Auch die Summe der beiden Vektoren erfüllt die Orthogonalität bezüglich des Vektors .

Frage: Ist die Norm eines Vektors mit einem Skalar auch gleich den Einzelnormen der beiden Faktoren?

Nutze die Definition der Norm und erweitere mit dem Skalar .

Definition:

Erweitern mit :

Umordnen der Faktoren und radizieren: