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Schwarzsche Ungleichung (Dreiecksungleichung)

Der Betrag eines Skalarprodukts ist kleiner oder gleich dem Produkt der einzelnen Beträge. Oder anders herum ausgedrückt:

Das Produkt der Einzelbeträge und kann größer oder gleich ihrem Skalarprodukt sein.

Die Beträge als Kleinbuchstaben geschrieben:

Eingesetzt in die Schwarzsche Ungleichung:

Das Produkt der Einzelbeträge und kann größer oder gleich ihrem Skalarprodukt sein.

Nach der Umstellung der Gleichung:

Dieser Quotient ist demnach kleiner oder gleich eins. Die Zahl eins ist der Maximal des Cosinus, wenn der eingeschlossene Winkel zwischen null und Grad pendelt, denn:

und

In der Zeichnung des Einheitskreises siehst du, dass der Cosinus (= Ankathete unten) nur zwischen und pendeln kann.

Beweis:

Ziel:

Annahme:

Begründung: und

Länge:

und

Die Vektoren sollen Einheitsvektoren sein. Damit haben sie die Länge und auch ihr Skalarprodukt ist kleiner oder gleich eins.

Neue Annahme:

Man kann auch annehmen, dass das Skalarprodukt von einem gleichen Vektor kleiner oder gleich eins ist. Diese Annahme folgt aus der Benutzung der Einheitsvektoren, deren Länge gleich ist.

Zum Beweis braucht man:

Zerlegung von in Parallel- und Orthogonalkomponente:

*)

Der Vektor ist die Addition der beiden Komponenten.

**)

Das ist die Formel für die Parallelkomponente .

A) Prüfen, ob der Vektor die Länge eins hat.

Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Ersetzen von laut *)

Ausmultiplizieren:

Ersetzen durch die Längen und :

Das Skalarprodukt von senkrechten Vektoren ist null. Es bleibt nur noch ein Term übrig.

Ziehe die Wurzel und stelle um:

Die Länge der Parallelkomponente auf dem Vektor ist eins.

B) Prüfen, ob der Vektor die Länge kleiner oder gleich eins hat.

Benutze die Formel für die Parallelkomponente **)

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt seine Länge. Quadrierte Vektoren haben dann eine quadrierte Länge.

Länge errechnen:

Das Quadrat des Einheitsvektor ist eins. Die Betragsstriche werden weggelassen und stattdessen Kleinbuchstaben benutzt. Es bleiben übrig:

Ziehe die Wurzel und stelle um:

Die Länge der Parallelkomponente ist kleiner oder gleich eins. Hier wird explizit angegeben, wie der Betrag berechnet wird, nämlich Betrag des Richtungsvektors mal Betrag des Vektors .