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Orthogonalität zweier Vektoren

Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn ihr Produkt von Vektoren null ist.

Euklidischer Vektorraum

Hat ein Vektorraum ein Produkt von Vektoren, dann heißt er euklidisch.

Beispiele

Frage: Kann auch eine Summe aus Produkt von Vektoren senkrecht zu einem begebenen Vektor stehen?

Wir wissen: Wenn das Skalarprodukt null ist, dann stehen die betreffenden Vektoren senkrecht aufeinander.

Nun prüfen wir, ob auch die Summe der beiden Skalarprodukte senkrecht aufeinander steht.

Vorgehensweise:

Statt des Symbols für die Orthogonalität schreibst du einen Malpunkt und setzt die Gleichung (= Skalarprodukt) auf null.

Hier kannst du das Distributivgesetz anwenden (SP 3).

Die beiden Skalarprodukte und sind null, weil sie senkreckt aufeinander stehen. Damit steht auch ihre Summe senkrecht auf dem Vektor .

Fazit: Auch die Summe der beiden Vektoren erfüllt die Orthogonalität bezüglich des Vektors .

Frage: Ist der Betrag eines Vektors mit einem Skalar auch gleich den Einzelbeträgen der beiden Faktoren?

Ich benutze das Symbol (Gleichheitszeichen mit Buckel), weil ich noch nicht weiß, ob wirklich eine Gleichheit vorliegt.

Beweisführung:

Gehe von der Definition des Betrags aus:

Erweitere jeden Faktor mit :

Umgib die relevanten Produkte in der Wurzel mit den Betragsstrichen.

Ordne gleichartige Faktoren um und radiziere:

Ja, die Frage wurde positiv beantwortet:

Man kann die Betragsstriche auch um die einzelnen Faktoren schreiben. Diese Erkenntnis gilt also auch bei der Vektorrechnung.