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Projektion eines Vektors auf einen Vektor

In einem euklidischen Vektorraum ist die Parallelkomponente die Projektion von auf . Das ist eine longitudinale (= längslaufende) Abbildung.

oder

Der Einheitsvektor wird mit dem Vektor multipliziert. Das Ergebnis wird dann ebenfalls mit dem Einheitsvektor multipliziert.

Beispiel

Berechne die Parallelkomponente.

Entnimm der Zeichnung die Komponenten der beiden Vektoren.

Berechne die Länge von :

Berechne den Einheitsvektor von :

Berechne die Parallelkomponente :

Überprüfe die berechnete Komponente anhand der Zeichnung.

Die Orthogonalkomponente ist das Lot von der Spitze des Vektors auf .

Die Orthogonalkomponente des Dreiecks ist die Differenz des Vektors und des parallelen Vektors . Sie ist der transversale (= senkrecht verlaufende) Anteil von bezüglich .

Beispiel

Berechne die Orthogonalkomponente.

Überprüfe die berechnete Komponente anhand der Zeichnung.

Folgerungen

Aus den obigen Berechnungen ergeben sich folgende Folgerungen:

Die Addition der Parallelkomponente und der Orthogonalkomponente ist der Vektor .

Die Parallelkomponente ist parallel zum Vektor ,

Die Orthogonalkomponente ist senkrecht zum Vektor .

Beweise dies!

Ziel:

Das Skalarprodukt der Orthogonalkomponente und des Vektors muss null ergeben (, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.

Benutze Punkt (1) der Folgerungen.

Und setze die Orthogonalkomponente in die Gleichung ein. Danach multipliziere aus.

Setze für die Parallelkomponente die entsprechende Formel ein.

Nach dem Einsetzen der Parallelkomponente:

Fasse die beiden letzten Faktoren zusammen (Assoziativgesetz).

Benutze die Formel des Einheitsvektors , forme sie nach um und ersetze dann die Variable (hinten in der Gleichung).

Nach dem Ersetzen von :

Ziehe den Betrag vor die zweite Klammer und fasse die beiden Einheitsvektoren zusammen.

Das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist eins.

Das ergibt:

Bringe die Variable in die Klammer nach vorne:

Ersetze das Produkt durch (siehe Formel für den Einheitsvektor ). Rechne aus.

Die Differenz ergibt null, was zu beweisen war. Die Orthogonalkomponente steht also tatsächlich senkrecht zum Vektor .

Rückschau: Wie beweist man?

Betrachte das Ziel:

Ersetze Variablen mit geometrischen Symbolen durch „normale“ Variablen, hier: .

Kommt nochmals ein „komisches“ Symbol vor, wieder ersetzen, hier: .

Simple Berechnungen und Umformungen vornehmen, hier: .

Um die Einheitsvektoren los zu werden, baue ihre Definition ein, so dass später zwei Einheitsvektoren nebeneinanderstehen, die dann wegfallen, hier: .

Die Rückwandlung eines Einheitsvektors in einen „normalen“ Vektor ist auch möglich, hier: .