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Herleitung Vektorprojektion

Parallel- und Orthogonalkomponente

Der Vektor kann in eine parallele Komponente und eine orthogonale Komponente zerlegt werden.

Aus der Zeichnung kannst du die folgenden Beziehungen ablesen:

1) Der Vektor ergibt sich aus der Addition der parallelen und orthogonalen Komponente.

2) Die parallele Komponente ist zum Vektor parallel.

3) Die senkrechte Komponente steht senkrecht auf dem Vektor

Behauptung:

Die parallele Komponente soll gleich dem Skalarprodukt der Vektoren und sein, wobei ein Korrekturfaktor benutzt wird, damit die Gleichung stimmt.

Setze die Gleichung aus 1) ein:

Vektor auf den Vektor projizieren

In dem Fall muss   ein Teil von  sein und sich somit durch einen Faktor und dem Vektor  selbst ausdrücken lassen. Die zweite beschreibt die Orthogonalität der beiden Vektoren  und , welcher das Lot auf  darstellt. 

So ergeben sich die zwei Zusammenhänge:

Erste Gleichung:

 Zweite Gleichung (Skalarprodukt):

Es befinden sich aktuell drei unbekannte Variablen in den Gleichungen, weshalb eine ausgetauscht werden muss. Nur so kann eine eindeutige Lösung berechnet werden.  darf in der zweiten Gleichung wie folgt ersetzt werden:

Daraufhin wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt:

Nach dem Auflösen erhält man den Skalierungsfaktor x als:

Mit der Hilfe der ersten Gleichung kann jetzt der zusammengesetzte Vektor  berechnet werden.